第七章习题解答文档格式.docx

1、.那么可由线性表示,不妨设.对任意的,有,则3. 设是向量空间V的线性变换，如果 k10, 但 k0，求证, , , k1 （k0）线性无关.证明: 令 + （1） （1）式两端用作用得:+ 由已知得:= ,所以有.则（1）式变为: （2）（2）式两端用同理.重复上述过程有:. 4. 在向量空间Rx中， （f （x）f （x）, （f （x）xf （x）, 证明， .对任意.所以 .5. 在向量空间R3中，线性变换, 如下： （x1, x2, x3）（x1, x2, x1x2） （x1, x2, x3）（x1x2x3, 0, x3x1x2）（1） 求, , 2；（2） 求, , 2. 解: （

2、1） 0, , ,=（2） 6. 已知向量空间R3的线性变换为 （x1, x2, x3）（x1x2x3, x2x3,x3）证明，是可逆变换，并求1. 关于的一个基的矩阵为:显然,可逆,所以是可逆变换,而且所以7. 设, , 都是向量空间V的线性变换，试证, （1）如果, 都与可交换，则, 2也都与可交换（若对任意V，都有 （） （），就说与可交换）；（2）如果, 都与可交换，则, 也都与可交换. 证:（1）由已知（2）同理可证.8. 证明，数域F上的有限维向量空间V的线性变换是可逆变换的充分必要条件是把非零向量变为非零向量. 不妨设是n维的.是它的一个基.关于这个基的矩阵为.显然,可逆当且仅当

3、可逆.把非零向量变为非零向量当且仅当,而秩=秩的零度=.且秩的零度=n.所以秩=n当且仅当的零度是0,即.故把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 是向量空间的可逆线性变换, 的一组线性无关的向量,令两端用.由已知 线性无关,所以: 线性无关.10. 设1, 2, 3是F上向量空间V的一个基. 已知V的线性变换在1, 2, 3下的矩阵为A（1） 求在1, 3, 2下的矩阵；（2） 求在1, k2, 3下的矩阵（k0，kF）；（3） 求在1, 12, 3下的矩阵. （1）（3） 11. 在R3中定义线性变换如下 （x1, x2, x3）（2x2x

4、3, x14x2, 3x1），（x1, x2, x3）R3. （1） 求在基1（1, 0, 0）, 2（0, 1, 0）, 3（0, 0, 1）下的矩阵；（2） 利用（1）中结论，求在基1（1, 1, 1），2（1, 1, 0），3（1, 0, 0）下的矩阵. （1） （2）从基到基的过渡矩阵为在下的矩阵为:12. 已知M2（F）的两个线性变换，如下 （X）X, （X）X, XM2（F）.试求, 在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 又问和是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 在基下的矩阵为同理可证下的矩阵. ,.所以在此基下的矩阵为：可逆.所以在同一基下的矩阵为:同理

5、可讨论的可逆性及求的矩阵.13. 设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. W1, W2是V的子空间，并且VW1W2 证明，是可逆变换的充要条件是V （ W1） （ W2）的一个基. 令的一个基.设可逆,则 也是的一个基.但（）.）,故V （ W1） （ W2）.充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R3的线性变换定义如下： （x1, x2, x3）（2x1x2, x2x3, x2x3）求在基1（1, 0, 0）, 2（0, 1, 0）, 3（0, 0, 1）及基1（1, 1, 0）, 2（0, 1, 1）,3（0, 0, 1） 在基1, 3, 2下的矩阵为:在基下的矩阵为:15. 在

6、M2（F）中定义线性变换为 （X）X， XM2（F）. 求在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵，其中E11, E12, E21, E22下的矩阵为16. 证明，与n维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换. 由习题二及第10题的结论易得.17. 给定R3的两个基1（1, 0, 1）, 2（2, 1, 0）, 3（1, 1, 1）；和 1（1, 2,1）, 2（2, 2, 1）, 3（2, 1, 1）. 是R3的线性变换，且（i）i，i1, 2,3. 求（1） 由基1, 2 , 3到基1, 2 , 3的过渡矩阵；（2） 关于基1, 2 , 3的矩阵；（3） 关于基1,

7、2 , 3的矩阵. （1）令.则由1, 2 , 3到1, 3, 2的过渡矩阵为:. 由基1, 3, 2到基1, 2 , 3的过渡矩阵为:所以由基1, 2 , 3到基1, 2 , 3的过渡矩阵为:（2） .所以在. 关于基1, 2 , 3的矩阵为:18. 设1（1, 0, 2）, 2（0, 1, 2）, 3（1, 2, 5），1（1, 1, 0）, 2（1, 0, 1）, 3（0, 1, 2），（0, 3, 5）是R3中的向量，是R3的线性变换，并且（1）（2, 0, 1）, （2）（0, 0, 1）,（3）（0, 1, 2）. （1） 求关于基1, 2 , 3的矩阵；（2） 求（）关于基1,

8、2 , 3的坐标；（3） 求（）关于基1, 2 , 3的坐标. .则从基1, 2 , 3到基1, 2 , 3的过渡矩阵为:又所以关于.从而关于基1, 2 , 3的矩阵为:的坐标为:由（2）可知=（1, 2 , 3） 1, 2 , 3的坐标为:19. 设R3有一个线性变换定义如下： （x1, x2, x3）（x1x2，x2x3，x3），（x1, x2, x3）R3.下列R3的子空间哪些在之下不变？（1） （0, 0, c）| cR; （2） （0, b, c）| b, cR;（3） （a, 0, 0）| a R; （4） （a, b, 0）| a, b R;（5） （a, 0, c）| a, c

9、 R; （6） （a, a, 0）| a R. （3）与（4）在之下不变.20. 设是n维向量空间V的一个线性变换，证明下列条件等价:（1） （V）V； （2） ker0. 因为秩的零度=n. 所以秩当且仅当,因此21. 已知R3的线性变换定义如下： （x1, x2, x3）（x12x2x3, x2x3, x1x22x3），（x1, x2, x3）R3.求的值域 （V）与核Ker的维数和基. 关于基其中22. 设是向量空间V的一个线性变换，W是的一个不变子空间，证明，W是 2的不变子空间.由不变子空间的定义易证.23. 设是数域F上n（0）维向量空间V的一个线性变换，1, 2 , r, r1,

10、 n是V的基. 证明，如果1, 2 , r 是Ker的基，那么 （r1）, （n）是Im的基.已知1, 2 , r是Ker的基, 则 （i）=0, i=1,2, , r .令 lr+1 （r1）+ lr+2 （r2）+ + ln （n）=0, 则 （ lr+1r1+ lnn）=0, lr+1r1+ lnn Ker .所以 lr+1r1+ lnn=l1 1+ lrr但 1, 2 , r, r1, n是V的一个基, 故 lr+1= ln=0. 所以 （r1）, （n） 线性无关.又 Im = （ （1）, （2）, （n） = （ （r1）, （n）.从而结论成立.24. 对任意R4，令 （）A，其中求线性变换的核与象. 解: 1 =, 2 =, Ker =（1,2）. （1） =, （2） =Im =（ （1）, （2）.25. 设 ， 是向量空间V的线性变换，且，. 这里是V的恒等变换， 是V的零变换. 证明:（1） V（V） （V）；（2） （V）Ker. V, = （）=（）（）= （）+ （）.所以V （V）+ （V）.对任意 （V） （V）. 则1）+ （2）.由已知条件可得= （ （1） = （）（ （