解题技巧立体几何中几类典型问题的向量解法新人教更多资料关注微博高中学习资料库.docx
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解题技巧：
立体几何中几类典型问题的向量解法-新人教
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。
它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离
（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：
求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点
与平面内任一点
构成的向量
的坐标，那么
到平面的距离
（2）求两点
之间距离，可转化求向量
的模。
（3）求点
到直线
的距离，可在
上取一点
，令
或
的最小值求得参数
，以确定
的位置，则
为点
到直线
的距离。
还可以在
上任取一点
先求
，再转化为
，则
为点
到直线
的距离。
（4）求两条异面直线
之间距离，可设与公垂线段
平行的向量
，
分别是
上的任意两点，则
之间距离
【例题】
例1：
设
，求点
到平面
的距离
例2：
如图，正方形
、
的边长都是1，而且平面
、
互相垂直。
点
在
上移动，点
在
上移动，若
。
z
（1）求
的长；（Ⅱ）当
为何值时，
的长最小；
（2）当
长最小时，求面
与面
所成的二面角
的大小
z
例3：
正方体
的棱长为1，求异面直线
与
间的距离.
例4：
如图，在长方体
中，
求平面
与平面
的距离。
点评：
若
是平面
的法向量，
是平面
的一条斜线段，且
，则点
到平面
的距离
，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设
是两条异面直线，
是
上的任意两点，
是直线
上的任意两点，则
所成的角为
（2）设
是平面
的斜线，且
是斜线
在平面
内的射影，则斜线
与平面
所成的角为
。
设
是平面
的法向量，
是平面
的一条斜线，则
与平面
所成的角为
。
（3）设
是二面角
的面
的法向量，则
就是二面角的平面角或补角的大小。
【例题】
例5：
在棱长为
的正方体
中，
分别是
的中点，
z
（1）求直线
所成角；
（2）求直线
与平面
所成的角，
（3）求平面
与平面
所成的角
例6：
如图，四棱锥
中，底面ABCD为矩形，
底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.
P
（1）求证：
EF
平面PAB；
（2）设AB=
BC，求AC与平面AEF所成角的大小.
z
例7：
如图，
，
，求二面角
的大小。
点评：
如果
分别是二面角
两个面内的两条直线，且
，则二面角的大小为
y
例8：
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，
．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
点评：
用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，
（1）当法向量
的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量
的夹角的大小。
（2）当法向量
的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量
的夹角的补角
。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：
如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
点D是AB的中点，
（1）求证：
AC⊥BC1；
（2）求证：
A1C//平面CDB1；
点评：
转化
转化
平行问题的转化：
面面平行
线面平行
线线平行；
例10．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：
D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
.
.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
D
例11．如图，在直三棱柱
中，
（1）求证
（2）在
上是否存在点
使得
（2）在
上是否存在点
使得
五、专题突破：
1、如图：
已知二面角
的大小为
，点
于点
，
，且
，求：
D
（1）直线
所成角的大小，
（2）直线
的距离。
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.
（1）求证：
EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的大小.
M
3、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=
AA1=
M为侧棱CC1上一点,
．
（1）求证:
AM⊥平面
；
（2）求二面角B－AM－C的大小；
（3）求点C到平面ABM的距离．
4、如图，
是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱
的中点。
（1）求证：
//平面
；
（2）求二面角
的大小
（3）在侧棱
上是否存在点
使得
平面
？
证明你的结论。
5、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.
（1）证明：
AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离.
（3）求二面角C1—AB1—A1的大小
6、如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD;
图4
（1）求异面直线AQ与PB所成的角;
（2）求点P到平面QAD的距离.
7、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（1）证明：
ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
C1
（2）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
参考答案：
例1：
解：
设平面
的法向量
，所以
，
，
所以设
到平面
的距离为
，
例2：
解：
（1）建立如图所示空间直角坐标系
（2）由
得
（3）
又
所以可求得平面
与平面
的法向量分别为
，
所以
，所以
例3：
z
解：
如图建立坐标系，
则
，
设
是直线
与
的公垂线，
且
则
，
例4：
解：
，
同理
又
，建立直角坐标系
，
，
设
为平面
的法向量，
则
由
，
不妨设
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
例5：
解：
（1）如图建立坐标系，则
，
故
所成的角为
（2）
所以
在平面
内的射影在
的平分线上，又
为菱形，
为
的平分线，故直线
与平面
所成的角为
，
建立如图所示坐标系，
则
，
，
故
与平面
所成角为
由
，
所以平面
的法向量为
下面求平面
的法向量，
设
，由
，
，
，
所以平面
与平面
所成的角
点评：
（1）设
是两条异面直线，
是
上的任意两点，
是直线
上的任意两点，则
所成的角为
（2）设
是平面
的斜线，且
是斜线
在平面
内的射影，则斜线
与平面
所成的角为
。
（3）设
是二面角
的面
的法向量，则
就是二面角的平面角或补角的大小。
例6：
（1）证明：
建立空间直角坐标系（如图），
设AD=PD=1，AB=
（
），
则E（a,0,0）,C（2a,0,0）,A（0,1,0）,B（2a,1,0）,P（0,0,1）,
.得
，
，
.
由
，
得
，即
，
P
同理
，又
，所以，EF
平面PAB.
（2）解：
由
，得
，
即
.
得
，
，
.
有
，
，
.
设平面AEF的法向量为
，
由
，
解得
.于是
.
设AC与面AEF所成的角为
，
与
的夹角为
.
则
.
得
.
所以，AC与平面AEF所成角的大小为
.
点评：
设
是平面
的法向量，
是平面
的一条斜线，则
与平面
所成的角为
。
例7：
解：
建立如图所示空间直角坐标系
，取
的中点
，
z
连
可证
，
作
于
，则向量
的夹角的大小为二面角
的大小。
，
为
的中点，
，在
中，
，
，
，
，
，
二面角
的大小为
例8：
y
解：
如图建立直角坐标系，
则
，
所以
是平面
的一个法向量。
设平面
的一个法向量
由
，
令
，
平面
与平面
所成的二面角的正切值为
点评：
用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，
（1）当法向量
的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量
的夹角的大小。
（2）当法向量
的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量
的夹角的补角
。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：
解：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直，
如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（
，2,0）
（1）∵
＝（－3,0，0），
＝（0，－4,0），∴
•
＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.
∵
＝（－
，0,2），
＝（－3,0，4），
∴
，∴DE∥AC1.
∵DE
平面CDB1，AC1
平面CDB1，
∴AC1//平面CDB1；
点评：
转化
转化
平行问题的转化：
面面平行
线面平行
线线平行；
例10．
解：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），
A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而
，
，设平面ACD1的法向量为
，则
也即
，得
，从而
，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量
，
∴
由
令b=1,∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴
（不合，舍去），
.
∴AE=
时，二面角D1—EC—D的大小为
.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．
解：
直三棱柱
，
两两垂直，以
为坐标原点，
直线
分别为
轴
轴，
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
（1）
，
（2）假设在
上存在点
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