大学物理 上册第五版重点总结归纳及试题详解第十七章量子力学基础.docx
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大学物理上册第五版重点总结归纳及试题详解第十七章量子力学基础
第十七章量子力学基础
一、基本要求
1.了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。
2.了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。
3.了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。
4.掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。
5.了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。
6.理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。
二、基本内容
1.物质波
与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。
描述其波动特性的物理量、和描述其粒子特性的物理量、由德布罗意关系
联系起来，构成一幅统一的图像。
2.波函数
对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为，
波函数的主要特点：
（1）波函数必须是单值、有限、连续的；
（2）（归一化条件）；
（3），表示粒子在时刻在（、、）处单位体积中出现的概率，称为概率密度。
特别注意自由粒子的波函数：
式中P和E分别为自由粒子的动量和能量。
3.不确定性原理
1927年海森堡提出：
对于一切类型的测量，不确定量和之间总有如下关系：
同时能量的不确定量与测定这个能量所用的时间（间隔）的关系为：
不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。
4.薛定谔方程
波函数所满足的方程。
若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。
在势场中，薛定谔方程可写为
若势能函数与时间无关，则可将写成，其中满足定态薛定谔方程
+=
而=，此时有
、=
这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。
在一维情况下，定态薛定谔方程成为
5.一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数
定态薛定锷方程（）
定态波函数（n＝1，2，3，….）
6.描述原子中电子运动状态的四个量子数
描述原子中电子运动状态的四个量子数如表17－1
表17－1四个量子数
量子数名称
符号
可取值
物理意义及作用
主量子数
3，…..
决定电子能量的全部或主要部分，n越小，能级越低
角量子数
对于给定的n
0，1，...,
决定电子绕核运动的角动量的值，，决定电子能量的次要部分，n相同，越小，能级越低
磁量子数
对于给定的
确定L在外磁场方向的分量Lz＝m
自旋量子数
决定电子自旋角动量S的空间取向，Sz=
7.泡利不相容原理
1925年泡利提出：
一个原子系统内，不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的一组量子数,,,。
不相容原理是确定电子组态和原子壳层结构的重要理论依据。
在结合能量最低原理，就可以对元素周期表进行成功的解释。
三、习题选解
17-1试求出质量为0.01kg，速度为10m·s-1的一个小球的德布罗意波长。
解：
m
m
17-2若光子和电子的德布罗意波长均为0.5nm，试求：
（1）光子的动量和电子的动量之比。
（2）光子的动能和电子的动能之比。
解：
给定波长为的光子的动量和能量为
相同波长电子的动量为
所以
（1）波长同为nm的光子和电子动量之比为
（2）高速运动电子的动能为总能量和静能量之差
由相对论动量与能量关系有
而光子静质量为0，其动能即为其总能量
所以，波长同为nm的光子和电子动能之比为
17-3试证明，当一个粒子的能量远大于其静止能量时，这个粒子的德布罗意波长与具有相同能量的光子的波长大致相等。
证：
能量为的光子波长为
同样能量的电子波长为
对于高速运动的粒子有
将平方，再减去的平方乘的平方
这样能量为的电子的波长为
由题意
因而
结论得证。
17-4一束带电粒子经206V的电势差加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm，已知这带电粒子所带电量与电子电量相等，求这粒子的质量。
解：
设粒子经电势差加速后速度为
电子的动量为
由此可以解出
kg
这个粒子是质子。
17-5实物粒子的德布罗意波与电磁波有什么不同？
解释描述实物粒子的波函数的物理意义。
答：
实物粒子的德布罗意波反映粒子在空间各点分布的规律；电磁波反映的是电场强度与磁场强度在空间各点的分布。
实物粒子的波函数的物理意义，是波函数的绝对值的平方表示粒子在空间某一区域出现的概率密度。
17-6试用球坐标表示的粒子波函数为，试求：
（1）粒子在球壳（.）中被观测到的概率；
（2）在方向上的立体角元中找到粒子的概率。
解：
（1）在球坐标体积元发现一个粒子的概率为
，，=，，，，
球坐标体积元
==
其中
的取值范围为0到，的取值范围为0到
粒子在（.）的球壳中被观测到的概率是指在和之间，和取全部范围的概率
，，，,
（2）在体积元中被测到的概率为
=
17-7一个质量为的粒子，约束在长度为的一维线段上。
试根据不确定关系估算这个粒子所能具有的最小能量的值。
由此，试估算在直径10-14m的核内质子和中子的最小动能。
解：
由海森堡不确定原理
粒子被约束在长度为的势阱中运动，的最大不确定范围为。
即
因而
的最小不确定范围在到，因为粒子在正负两个方向运动的概率是等同的。
因此的最小取值为。
因而，其动能的最小值为
对于质子和中子
kg
m
代入数据
J
=eV
17-8试根据关系式证明，对于在圆周上运动的一个粒子，。
其中是角动量的不确定量，是角度的不确定量。
证：
如图所示，设粒子在平面上做圆周
运动，当粒子在某一微小线段上运动时，
可以看成在此线段上粒子做的是直线运
动。
在线元中动量的不准确量是，
满足不确定原理题17-8图
即
于是
17-9如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s，这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少?
设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量。
解：
按不确定性原理：
有
J
eV
按光子能量与波长的关系式，有
m
nm
故有波长的最小不确定值为
m
nm
17-10在发现中子之前，人们曾经认为原子核是由个质子和个电子组成，试用不确定关系证明电子不可能是原子核的结构单元。
解：
原子核线度大约10-14m，电子限制在核内，位置不确定度为m,由不确定性原理，动量的不确定度为
kg·m·s
电子的动量不可能比它的不确定度小，据此估计电子动能约为
MeV
通常核内电子衰变的动能小于1eV。
所以简单的估计排除电子处在核内的可能性。
17-11试证明：
若势能函数具有空间反射不变性，即
而是一维定态薛定谔方程
的相应于能量本征值的解，则也是该方程的相应于该能量本征值的解。
证：
当时，定态的薛定谔方程变为
由于
按题意有
所以定态薛定谔方程可化为
由此可以看出与一样都满足同一定态薛定谔方程，且属于同一能量本征值。
17-12一维运动的粒子，处于如下波函数所描述的状态
式中，
（1）将此波函数归一化；
（2）求粒子坐标的概率分布；
（3）在何处发现粒子的概率最大。
解：
（1）按归一化条件得
=
=
=
=
所以
（2）粒子坐标的几率分布函数为
（3）由，得
解出得
当和时，，为极小值，时为极大值，
所以在处发现粒子的概率为最大。
17-13如在势能上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？
试说明此变化为什么观察不到（选择无穷远处的为0）。
解：
设在势能上加一常数，则薛定谔方程为
设，代入上式得定态方程
在定态方程中没有出现，故定态解没有发生变化。
仅在中多了一项，该项在中不出现，因此实际观察不到。
17-14试取一维无限深方势阱的中心为坐标原点，即
试求粒子的波函数及相应能量的表达式
解：
一维定态薛定谔方程为
①
当时，，①式成为
题17-14图
整理，得
令，有②
微分方程②得通解为
③
当时，运动粒子的能量总是有限的，不可能到达势能无穷大的区域，粒子在这一区域出现的概率为0，波函数也为0，即有。
由波函数在处的连续条件有
④
⑤
④+⑤有
⑥
④－⑤有⑦
⑥式解为，
，
⑦式解为，
，
将两个解合并有
，
，
能量本征值为
，⑧
对应的波函数为
，⑨
当时
由边界条件有
B=0n为奇数时
A=0n为偶数时
这样粒子的本征函数为
由波函数归一化条件
有
有
粒子归一化后的本征函数为
17-15求一维谐振子处于基态和第一激发态时概率最大的位置。
解:
一维谐振子处于基态和第一激发态的波函数分别
其中，为弹性系数。
谐振粒子处于基态的位置几率密度为
由，可得，在处的几率密度最大
同理
其中
令
得
即在处，找到粒子几率最大
17-16氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？
在不考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子数。
考虑到自旋后重新回答上述问题。
解：
当n=3时，角动量量子数为
磁量子数，，
当，只有一个状态，
所以当n=3时，共有1+3+5=9个不同的状态，以方式写出各状态为
,,，
,,,
当考虑电子自旋时，对以上每一个状态，有两个不同的状态，以方式写出每个态为
共18个量子态
17-17试写出角动量平方本征值和时角动量第三分量的可能取值。
解：
由
当时
的可能取值为2，，0，-，-2
当时，
的可能取值为4，3，2，，0，-，-2，-3，-4
17-18在长度为a的一维无限深方势阱中，每米含有5×109个电子。
如果所有的最低能级都被填满，试求能量最高的电子的能量。
解：
长度为a的一维无限深势阱的能量本征值为
①
由泡利不相容原理，每一层能级上最多只能有两个电子，设能量最高层的量子数为。
当最高层填满时总的电子数为2，最高层只有一个电子时，总电子数为2-1。
以表示单位长度的粒子数密度有
2为偶数②
为奇数③
④
⑤
当>>1时，⑤式可用④式表示
则最高层的电子能量为
eV
17-19求出能够占据一个d支壳层的最大电子数，并写出这些电子的m和值。
解：
d支壳层的轨道角动量量子数为。
能占据d支壳层的最大电
磁量子数的可能取值为
对应于每一个m，自旋量子数有两个状态。
相应的量子态以方式表示为
17-20试写出Ti原子的电子组态。
答：
Ti组态为
1s22s22p63s23p63d24s2
17-21为什么不能将氦原子中的两个电子加以区分？
对两个分离的氢原子的电子的区分有无困难？
对一个双原子氢分子又如何？
解：
经典理论认为电子有确定的轨道。
量子力学只能给出电子出现在某处的概率，不能断言电子在某处出现。
氦原子中的两个电子出现在氦原子核的附近，两个电子可能出现的空间是重叠的，当探测到一个电子时，被观测到的电子可能是两个电子中的任何一个，因而不能区分这两个电
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