24提高等腰三角形性质及判定培优课程讲义例题练习含答案Word文件下载.docx

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2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中的分类讨论

389301等腰三角形的性质及判定：

例2

（1）】

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则顶角的度数为（）．

A．60°

B．120°

C．60°

或150°

D．60°

或120°

【答案】D；

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．

（1）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°

；

（2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°

不符合题意；

（3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°

，故此题应选D．

【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：

等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.

举一反三：

【变式】

（•杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°

，这个等腰三角形的底角是　　．

【答案】50°

或80°

．

解：

①若100°

的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，

则此顶角为：

180°

﹣100°

=80°

，

则其底角为：

（180°

﹣80°

）÷

2=50°

②若100°

的外角是此等腰三角形的底角的邻角，

则此底角为：

故这个等腰三角形的底角为：

50°

故答案为：

类型二、等腰三角形的操作题

2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；

并根据每种情况分别猜想：

∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝24°

猜想：

（2）如图②△ABC中，∠C＝84°

【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.

【答案与解析】

（1）作图：

∠A＋∠B＝90°

（2）作图：

∠B＝3∠A.

【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.

【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°

，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，

探究：

如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？

写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

【答案】

若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.

设∠B为度∠1＝45°

，∠2＝∠A＝90°

－

①当BD＝BE时

∠3＝，

45°

＋90°

－＋＝180°

＝30°

.

②经计算ED＝EB不成立.

③当DE＝DB时

∠3＝180°

－2

－＋180°

－2＝180°

＝45°

.

综上所述，∠B＝30°

或45°

类型三、等腰三角形性质判定综合应用

3、（秋•东西湖区期中）如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：

AB=CD+BC．（用两种方法）

【思路点拨】

方法一：

先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；

方法二：

先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．

解；

在AB上取BE=BC，

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠CBD=∠EBD，

∵在△CBD和△EBD中，

∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴CD=ED，

∠C=∠BED，

∵∠C=2∠A，

∴∠BED=2∠A，

∵∠BED=∠A+∠ADE，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE，

∴AE=CD，

∵AB=BE+AE，

∴AB=CD+BC；

延长BC至F，使CF=CD，

则∠F=∠CDF，

∵∠ACB=∠F+∠CDF，

∴∠ACB=2∠F，

∴∠ACB=2∠A，

∴∠A=∠F，

在△ABD和△FBD中，

∴△ABD≌△FBD（AAS），

∴AB=BF，

∵BF=BC+CF，

∴BF=BC+CD，

∴AB=BC+CD．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：

AC＝BF．

证明：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°

，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：

BE＝AD.

【答案与解析】

证明：

如图，延长BE、AC交于点F.

∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°

∴△AEB≌△AEF（ASA）.

∴BE＝FE＝BF.

∵∠3＝90°

－∠F＝∠2，BC＝AC,

∴△BCF≌△ACD（ASA）

∴BF＝AD，BE＝AD.

【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．

【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.

求证：

AM＝（AB＋AC）．

延长AM至点E，使ME＝AM，连接CE.

∴　　　　　　　

【巩固练习】

一.选择题

1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（）．

A．30°

B．36°

C．45°

D．54°

2.等腰三角形两边、满足｜｜＋＝0，则此三角形的周长是（）

A．7B．5C．8D．7或5

3.（春•宜阳县期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）

　A．10B．15C．20D．25

4.（秋•西城区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　）．

A．B．1C．2D．5

5．如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）

A．1个　B．3个C．5个D．无数多个

6.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

二.填空题

7．已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含的式子表示）.

8.已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________.

9.（春•淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　　．

10.如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°

11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°

，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF＝_________°

12.（•黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°

，则∠An=　　°

三.解答题

13.（秋•海陵区期末）如图，点A的坐标为（5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．

14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

15.在中，，点是直线上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接．

（1）如图1，当点在线段上，如果，则_________；

（2）设，．

①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论．

1.【答案】C；

【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°

－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°

－，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°

，所以＝45°

2.【答案】A；

【解析】－＋2=0且2＋3－11=0，解得＝1，＝3，选A；

B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.

3.【答案】D；

【解析】解：

∵BO平分∠CBA，

∴∠EBO=∠OBC，

∵CO平分∠ACB，

∴∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，

∵AB=10，AC=15，