24提高等腰三角形性质及判定培优课程讲义例题练习含答案Word文件下载.docx

1、2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】

2、 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（ ） A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答（1）顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60； （2）顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0不符合题意； （3）顶角为钝角如图，则顶角度数为120，故此题应选D【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【

3、变式】（杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100，这个等腰三角形的底角是 【答案】50或80解：若100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180100=80，则其底角为：（18080）2=50若100的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：故这个等腰三角形的底角为：50故答案为：类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图ABC中，C90，A24猜想：（2）如图ABC中，C8

4、4【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：AB90（2）作图：B3A. 【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.【变式】直角三角形纸片ABC中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中的B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形【答案】若CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.

5、设B为度 145，2A90当BDBE时 3 ，459018030 . 经计算EDEB不成立.当DEDB时31802180218045.综上所述，B30或45类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、（秋东西湖区期中）如图，ABC中，C=2A，BD平分ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出CBDEBD，得出CD=ED，C=BED，再证明A=ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出F=CDF，再利用AAS证出ABDFBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+

6、CF=BC+CD，即可得出答案解；在AB上取BE=BC，BD平分ABC交AC于D，CBD=EBD，在CBD和EBD中，CBDEBD（SAS），CD=ED，C=BED，C=2A，BED=2A，BED=A+ADE，A=ADE，AE=DE，AE=CD，AB=BE+AE，AB=CD+BC；延长BC至F，使CF=CD，则F=CDF，ACB=F+CDF，ACB=2F，ACB=2A，A=F，在ABD和FBD中，ABDFBD（AAS），AB=BF，BF=BC+CF，BF=BC+CD，AB=BC+CD【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

7、定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF 证明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG. 4、如图，ACBC，ACB90，A的平分线AD交BC于点D，过点B作BEAD于点E.求证：BEAD.【答案与解析】 证明：如图，延长BE、AC交于点F.12，AEAE，AEBAEF90AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390F2，BCAC,BCFACD（ASA）BFAD，BEAD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问

8、题的解决【变式】已知，如图，AD为ABC的内角平分线，且ADAB，CMAD于M. 求证：AM（ABAC） 延长AM至点E，使MEAM，连接CE. 【巩固练习】一.选择题1如图，在ABC中，若ABAC，BCBD，ADDEEB，则A等于（ ）A30 B36 C45 D542. 等腰三角形两边、满足0，则此三角形的周长是（ ）A7 B5 C8 D7或53.（春宜阳县期末）如图，ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，EFBC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则AEF的周长是（） A10 B 15 C 20 D 254. （秋西城区期末）如图，在ABC中，BD平分ABC，与AC交于点D，DE

9、AB于点E，若BC=5，BCD的面积为5，则ED的长为（） A B1 C2 D55如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得PAB、PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）A1个 B3个 C5个 D无数多个6. 如图所示，矩形ABCD中，AB4，BC，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个二.填空题7已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角_度（用含的式子表示）. 8. 已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为_.

10、9.（春淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为 10. 如图，在ABC中，高AD、BE交于H点，若BHAC，则ABC_11如图，钝角三角形纸片ABC中，BAC110，D为AC边的中点现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F若点F恰好在BA的延长线上，则ADF _12.（黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，An1Cn1=An1An，若B=30，则An= 三.解答题13.（秋海陵区期末）如图，点A的坐标

11、为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标14已知，如图，ABC中，D是BC中点，DEDF,试判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论.15.在中，点是直线上一点（不与重合），以AD 为一边在AD 的右侧作，使，连接（1）如图1，当点在线段上，如果，则_；（2）设， 如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 1. 【答案】C；【解析】设A，则由题意ADE1802，EDB，BDCBCD90，因为ADEEDBBDC180，所以452. 【答案】A； 【解析】2=0且2311=0，解得1，3，选A；B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.3. 【答案】D； 【解析】解：BO平分CBA，EBO=OBC，CO平分ACB，FCO=OCB，EFBC，EOB=OBC，FOC=OCB，EBO=EOB，FOC=FCO，BE=OE，CF=OF，AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，AB=10，AC=15，