函数的概念和性质Word文件下载.docx
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早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几
何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；
Newton，1642—
1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；
Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；
Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；
Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；
Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].
Dirichlet：
认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：
“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.
Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象.
（二）初高中函数概念的区别与联系
1．初中函数概念：
设在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个围的每一个值，都有唯一的值与它对应，我们就说是的函数，叫自变量，叫的函数.
2．高中函数概念：
（1）设AB是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.记作，其中叫原象，叫象.
（2）设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一
确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作.
其中x叫做自变量，自变量取值的围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构
成的集合叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.
（3）函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素：
定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心.
（三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心涵为从非空数集到非空数集的映射；
函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；
它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；
函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等容的联系也非常密切；
函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；
函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.
四）函数的概念与性质结构框图
基本初等■函数L
（五）函数的概念与性质教学重点和难点
教学重点：
1函数的概念
2•函数的基本性质
3•基本初等函数的图象和性质
教学难点:
1．函数概念的理解
2．对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3．运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议：
（一）如何深入把握函数的概念？
1．映射与函数的教学建议：
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：
例1：
设集合和都是自然数集合.映射把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射作用下,2的象是；
20的原象是.
分析：
由已知，在映射作用下的象为.
所以，2的象是；
设象20的原象为，则的象为20，即.
由于，随着的增大而增大，又，所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数性质的探究，具有一定的综合程度.
2．函数的定义域问题：
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：
例2：
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
解：
（1）由，得，所以或，所以或.
所以，所求函数的定义域为.
（2）由得，或.
（3）由得，且，，
所以，所求函数的定义域为
（4）由得即所以.
所以，所求函数定义域为.
例3：
如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出定义域.
解:
根据题意,.
弧长为，所以.
所以，.
根据问题的实际意义..
解得.
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.
（1）给出函数解析式求定义域（如例2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：
1分式中分母不为零；
2偶次方根下被开方数非负；
3零次幂的底数要求不为零；
4对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；
5，则.
（2）在实际问题中求函数的定义域（如例3）.在这类问题中除了考虑解析式对自变
量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.
3．函数的对应法则问题：
确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.
例4：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的值；
（3）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式；
（4）已知函数与函数的图象关于直线对称，求的解析式.
（1）求函数的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决
（1）这样的问题.
方法一：
.通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以，.
方法二：
设,则.则，所以.
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.
（2）用“凑型”的方法，.所以，.
（3）因为为二次函数，并且当时，取得最小值，
所以，可设，
又，所以，所以.
（4）这个问题相当于已知的图象满足一定的条件，进而求函数的解析式.所以，可以
类比解析几何中求轨迹方程的方法求的解析式.
设的图象上任意一点坐标为，则关于对称点的坐标为，由已知，点在函数的图象上，所以，点的坐标满足的解析式，即，
由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像
（1）
（2）所用到的“凑形”
及“换元”的方法；
有像（3）所用到的待定系数法；
也有像（4）所用到的解析法.
值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.
（二）教学中如何突出函数性质的本质？
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分容常用到数形结合的思想方法.
1．关于基本概念的理解：
（1）设函数的定义域为，如果对于的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数
设函数的定义域为，如果对于任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数.由奇函数定义可知，对于奇函数，点与点都在其图象上.又点与点关于原点对称，我们
可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；
通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形.
（2）一般地，设函数的定义域为，区间.如果取区间中的任意两个值，，改变量，则当时，就称函数在区间上是增函数；
当时，就称函数在区间上是减函数.
如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，区间称为单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
（3）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值
时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期•
（4）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值
时，都成立，则函数的图象关于直线对称•
这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识•
2•关于函数的奇偶性问题：
对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用•教学中可给出如下题组：
例1:
判断下列函数的奇偶性•
（1）；
（2）;
（3）；
（4）;
（5）.
（1）解，得到函数的定义域为或，关于原点不对称，
所以此函数为非奇非偶函数•
（2）函数的定义域为，但是，由于，，
即，且，
（3）函数的定义域为，又，
所以此函数为偶函数•
（4）解，得，
又”’・，，
所以此函数为奇函数.
（5）函数的定义域为，又,
所以此函数为奇函数
通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论：
1一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；
2是奇函数，并且在时有定义，则必有；
3既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为，等.判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：
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