数学分析证明部分集锦新Word格式文档下载.docx

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5.设.求证:

（1）与均有极限;

（2）.

证因为,所以,即单调减少有下界,而,即单调增加有上界.所以与都收敛.

在两边取极限得.

6.设,且,求证收敛且.

证因为,对给定的,当时,有

所以,当时,有,由迫敛原理得.

闭区间上连续函数的性质

7.证明方程在内至少有一个根.

证令,则在上连续,且,

即.由根的存在性定理得至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个根.

8.证明方程至少有一个小于的正根.（10分）

证令,则在上连续且,由闭区间上连续函数的零点存在定理,，使得.

9.设函数在上连续,且满足.若在上能取到负值,试证明:

（1）,使得;

（2）在上有负的最小值.

证由条件可设且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.

（1）得证.

（2）由,存在使得当时,有.又在上连续,故,使得.而当时,,故对有.所以结论成立.

10.设为正整数,为个实常数,且.求证多项式函数

在内至少有两个零点.

证因为,又,所以存在,使得,又在和上都连续,由根的存在性定理,和,使得,所以,结论成立.

11.设,求的表达式,并指明的间断点及其类型.

解:

所以

为第一类可去间断点;

为第二类无穷间断点.

12.设在上连续,且满足,求证:

使得.

证明:

令,则在上连续,

由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.

13.设是上的连续函数,且满足条件.证明存在,使得.

令,则在上连续,且,

.若,则存在或使得.若与都不为零,则

（注:

两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号）.

14.设函数在上连续,且满足,若存在,使得,求证:

（1）使得;

（2）在上有负的最小值.

（1）因为,由函数的局部保不等式性,存在充分大的（不妨设）,使得时,有,所以当时,在上连续且,由连续函数的零点存在定理,存在使得.

（2）又在上连续,故由最值定理,存在,使当时,

而,且时,.所以在上有负的最小值.

15.设,若,求证

证法1（用导数定义）

因为.

又,所以

所以

证法2（用重要极限1）

所以.

导数与微分证明

16.设证明:

在处可微;

在处不可微

证因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;

又当时,,

而极限不存在,故在处不可导,由可导与可微的关系知在处不可微;

17.设存在,证明:

证:

18.设为内的可导函数,周期为.求证:

也是以为周期的函数.

因为,所以也是以为周期的函数.

中值定理的应用

19.设,证明多项式在内至少有一个零点.

证作辅助函数,则在闭区间满足罗尔中值定理的三个条件,故存在使得

故在内至少有一个零点.

20.设都是可导函数,且,证明当时,

证因为严格单调增.当时,.

又由柯西中值定理得,存在使得

21.对任意的,有,且等号只在时成立.

令存在,使得,而,当且仅当时,所以结论成立.

22.设在上连续,在内可导,且满足,求证:

存在,使得.

提示:

令,用罗尔中值定理可证.

23.设函数在上连续,在内二阶可导,连结点与点的直线交曲线于点,其中.证明:

证因为三点共线,所以.

在及上分别应用中值定理得:

存在,使;

存在,使,即.

由于二阶可导,故函数在区间上满足罗尔中值定理的条件,故,使得.

24.设,证明不等式:

在上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!

25.设,证明不等式.

26.设,证明不等式.

证将要证的不等式变形为,令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是使得

又由与在上的连续性与单调性可得,所以

故要证的不等式成立.

27.已知在的某邻域内有二阶连续导数,且,证明:

存在唯一的一组实数,使当时,是比高阶的无穷小量.

证法1（洛比达法则）

令,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到

（2）

因为,故

（2）有唯一非零解.故结论成立.

28.设函数在内可导,且及都存在.证明.

证当时,由条件知,函数在区间上连续可导,故,使得

.因为及都存在,所以

=.

29.证明;

当时,

证令,则.

令,所以在内单调增,则当时,,从而,所以在内单调增,

则当时,.

用单调性证明不等式

30.证明;

证令,

当时,,所以在内单调增,故当时,

因而得在内单调增,故当时,.

31.设,证明不等式:

32.设，证明不等式。

证明：

令，则，且，于是在区间上严格单调增，故当时，，即，故。

用最值证明不等式

33.证明:

令,则,令得函数在上有唯一驻点,而,所以

34.证明对任意的,不等式成立.

设,令,得函数在内的唯一驻点,而

又,因此,所以

35.证明不等式,其中.

证法1用贝努利不等式.

证法2设,令,可知函数有唯一驻点.当时,,当时,,所以是函数的最小值,故,即有,其中..

36.设,则.

证要证的不等式等价于,令,则问题转化成为讨论函数在内的上界和下界.因为

为讨论函数在是否有驻点.令

当时,在内为减函数,又由当时,,而在内为减函数又所以

.也就是说在内为严格单调减函数,无驻点.

.证毕.

37.设在上连续,在内可导,且,求证在内单调.

因为,故在内不变号,若,则在内严格单调增.若,则在内严格单调减.

函数的凹凸性应用

38.设在内二阶可导,且.证明对于内的任意两点及,有.

证不妨设,因为,故在内凹函数,由凹函数的定义得:

对于内的任意两点及,有.

39.设在上连续，在存在阶导数，对都有，则在内至多有个零点。

证（用反证法）若在内有个零点，由Roll中值定理，存在，使得，

同理，存在，使得，依此类推，存在使得又由Roll中值定理，存在，使得此与条件矛盾。

40.设在上有阶导数，，且存在互不相同的点，使得，则存在使得。

证令，由条件知有互不相同的零点，由上题可得，存在，使得。

泰勒公式

41.设函数.证明:

证当时,，又,所以

42.设在上有二阶导数,且,其中为非负常数,对任意的,证明:

证将在处展开成泰勒公式

将代入上式得

所以,移项并用三角不等式得

43.假设

（1）

其中.又设,试证明.

证由于存在,因此具有佩亚诺余项的阶麦克劳林公式为

.

（2）

（1）式两边分别减去

（2）式的两边,并除以得

所以

44.设在内具有二阶连续的导数且,试证明:

（1）对于内的任一,存在唯一的,使得成立;

（2）*.

证

（1）任给非零,由拉格朗日中值定理得

因为在内连续且,所以在内不变号,不妨设,则在内严格单调增,故唯一.

（2）方法1对于非零的,由拉格朗日中值定理得

由此可得

由因为

方法2将在处展开成为泰勒公式得到

在与之间.

所以,

即有，所以

，

由的连续性可得,于是.

45.设在内具有二阶导数且,试证明:

（2）*.（注:

该题是上一题目的减弱条件下的结论,应注意证明方法的差异及其原因）

证

（1）对任意非零的,由拉格朗日中值定理得

因为在内二阶可导且,所以由导数介值定理可知,在内不变号,则在内单调,于是在内唯一.

（2）对于非零的,由拉格朗日中值定理得

因而

上式两边取极限,并对右边用洛比达法则得到

左边

右边左边

最后得到.

46.应用致密性定理证明：

若函数在闭区间上连续,则在上有界.

如果在上无界,则对任何正整数,存在,使得.依次取,则得到数列.由致密性定理,它含有收敛子数列,记.由及数列极限的保不等式性,.利用在点连续,推得

（1）

另一方面,由的选取方法又有

这与

（1）式矛盾.所以在上有上界.类似地可证在上有下界.从而在上有界.

47.用有限覆盖定理证明:

若函数在上无界,则必存在上某点,使得在该点的任意邻域内无界.

证用反证法,若对任意的,存在,使得在中有界,则令

它成为的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在

为的有限开覆盖.由于在每个内有界,因此在上有界,这与题目的条件矛盾.