最新高考数学理第七章不等式 73习题及答案Word格式.docx
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答案 B
解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,因为目标函z=ax+y的最大值为4,即目标函对应直线与可行域有公共点时,在y轴上的截距的最大值为4,作出过点D(0,4)的直线,由图可知,目标函在点B(2,0)处取得最大值,故有a×
2+0=4,解得a=2.故选B.
3.若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为( )
A.4B.
C.6D.
解析 作出如图中阴影部分所示的可行域,当直线y=-x+经过点A时z取得最小值.由
得,此时,zmin=3×
1+2×
=.
4.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( )
A.2B.-2
C.D.-
解析 如图,作出
所表示的平面区域,作出目标函取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k==-.故选D.
5.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实a的值为( )
A.或-1B.2或
C.2或1D.2或-1
解析 画出约束条件下的可行域,如图所示.令z=0,画出直线y=ax.
当a<
0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则必须使得直线y=ax与x+y-2=0平行,此时a=-1;
当a>
0时,则直线y=ax与2x-y+2=0平行,此时a=2.
6.已知不等式组(a>
0)表示的平面区域的面积是,则a等于( )
A.B.3
答案 A
解析 画出平面区域,可知该区域是一个三角形,其面积等于·
2h=,所以h=.解方程组得y=,所以=,解得a=,选A.
7.在平面直角坐标系中,若不等式组表示一个三角形区域,则实k的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(1,+∞)
C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 已知直线y=k(x-1)-1过定点(1,-1),画出不等式组表示的可行域示意图,如图所示.
当直线y=k(x-1)-1位于y=-x和x=1两条虚线之间时,表示的是一个三角形区域.所以直线y=k(x-1)-1的斜率的范围为(-∞,-1),即实k的取值范围是(-∞,-1).当直线y=k(x-1)-1与y=x平行时不能形成三角形,不平行时,由题意可得k>
1时,也可形成三角形,综上可知k<
-1或k>
1.
8.设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为( )
A.1,-1B.2,-2
C.1,-2D.2,-1
解析 首先画出|x|+|y|≤1表示的平面区域为阴影部分.
x+y=1,x+y=-1,x-y=1,x-y=-1这四条直线的交点为(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),由图形可知,当过点(0,1)时,x+2y取得最大值2,过点(0,-1)时,x+2y取得最小值-2.
9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
8
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
解析 根据题意,设每天生产甲x吨,乙y吨,
则目标函为z=3x+4y,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A(2,3)时,z取得最大值且zmax=3×
2+4×
3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.
10.若x,y满足约束条件则的最大值为________.
答案 3
解析 作出可行域如图中阴影部分所示,
由可行域知,在点A(1,3)处,取得最大值3.
11.若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
答案
解析 在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A处,z取得最大值,且zmax=.
12.若实x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________.
解析 ∵x2+y2≤1,∴6-x-3y>
0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-2≥0时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域Ⅰ内的点(含边界).
通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A时,t取最小值,∴tmin=-+4=3.
当2x+y-2<
0时,t=8-3x-4y,点(x,y)可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB).
通过作图可知,此时t>
8-3×
-4×
=3.
综上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.
13.实x、y满足
(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
解 由作出可行域如图中阴影部分所示.
(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).
而由得B(1,2),则kOB==2.
∴zmax不存在,zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.
因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
由得A(0,1),
∴|OA|2=()2=1,
|OB|2=()2=5.
∴z的最大值为5,没有最小值.
故z的取值范围是(1,5].
14.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;
用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?
解 设A,B两种金属板各取x张,y张,用料面积为z,
则约束条件为目标函z=2x+3y.
作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.
z=2x+3y变成y=-x+,得斜率为-,在y轴上截距为,且随z变的一组平行直线.
当直线z=2x+3y过可行域上点M时,截距最小,z最小,解方程组得M点的坐标为(5,5).
此时zmin=2×
5+3×
5=25(m2).
两种金属板各取5张时,用料面积最省.