论文圆周率额数值计算Word格式文档下载.docx

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值的探知过程，反映了数学和计算技术发展的进程。

本文先简单介绍了圆周率计算的发展史，继后介绍了利用计算机求圆周率数值解的两种方法的原理。

借助Mathematica软件，给出结果、分析误差和比较数据，并分析其优缺点，最后总结了自己所受到的启发和感想。

【关键词】：

圆周率计算数值积分

1引言

1.1圆周率在数学上的地位

在还没有圆周率这个名词的时候，人们还不知道圆的周长和面积该怎么来计算，也许也是可以估算的，像历史上就有很多运用很多种方法来试图计算圆的周长和面积的。

比较有名的当数切割法了，于是数学家们渐渐的接近了真相，圆周率问世了，让人们知道了圆周率其实也就是一个比值，是个常数！

有了圆周率之后，可以说在数学上以及在历史上都是一个重大的发现，科学家们不用再纠结圆的周长和面积该怎么计算了，它就是一个数学上的里程碑。

1.2研究圆周率数值计算的意义

我们都知道在上小学的时候就接触了圆周率，而在今后的更高层的学习中还会接触到圆周率。

比如大学里面的微积分，还有从事航天事业及研究工作的，都需要用到圆周率，而圆周率我们都知道它是一个无理数，也就是说我们无法知道它的具体数值，只能知道它的近似值。

所谓近似值，那么它就存在着一定的误差，而有些计算中误差是很重要的，尽量小的误差才是安全的，才是人们所需要的。

所以说圆周率数值的研究是非常必要及重要的。

1.3圆周率数值的计算方法

在研究圆周率上祖先们花费了很多的时间和心血，从最开始的不知道怎么求值到求近似值，慢慢延伸到接近的数值。

经过了一代代数学家呕心沥血的研究，从最初的无法计算到能计算，从能计算到尽量接近真实值，从手工计算到运用计算机计算，这些都是我们宝贵的财富。

当然这一切过程都是漫长的，在刘徽的“割圆术”思想中我们看到了很多，也学到了很多，数学以及其他方面的研究，我们的思想要开阔，不要禁锢在已有的思想中。

后来的数学家们发明了很多种方法来计算圆周率，为圆周率的计算做了很大的贡献，但我觉得最值得一说的事刘徽。

继刘徽之后的数学家们多多少少都受到了“割圆术”的启示，所以刘徽在圆周率计算上算是一大功臣。

2圆周率简介和圆周率计算的发展史

2.1圆周率的简介及发现

2.1.1圆周率的简介

一般地说,圆周率就是圆的周长与直径之比，我们在中学时知道

是无理数。

早在4000年前，也就是在公元前2000年左右的巴比伦王国时被发现,它就隐藏在自然数中。

不过当时认为圆周率的值是3或

。

大约2600年前,“化圆为方”问题的提出，成为了世界三大难题之一。

公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimdes,B.C.287-B.C.212）“将圆的半径作为高，将圆周的长度作为底边的三角形的面积就等于圆的面积”的思想，有了圆面积的计算公式为

作为圆周率的符号，它的语源是希腊语

的第一个字母。

而最早将

作为符号使用的人是

.乔治（1675-1749），这时

是周围的意思。

随后哥德巴赫、欧拉都使用

作为圆周率的符号。

但又据说早在乔治之前的1647年奥托莱多就使用

作为圆周率了。

所以究竟是谁在什么地方首先使用

的，还不知道。

计算圆周率

的方法有很多，如：

割圆术（又称为古典算法）、级数法、弧度法、蒙特卡罗法、数值积分法。

2.1.2圆周率的发现

其实圆周率在很早以前就被人们所知道了，从人类诞生在地球起，经历了几千万年的时间。

我们看到的太阳几乎总是圆的，我们还发现了很多如圆般的形状。

随着人类文明的发展，人类开始研究一些他们疑惑的东西，当然他们对圆就感到比较奇妙，于是发现了无论圆的大小如何，它的周长与直径之比是个定值，这个常数就是圆周率，记作

2.2圆周率的计算及时期

2.2.1圆周率实验时期

发现了圆周率这样一个新名词，人们肯定迫切地想知道它的数值到底是多少，但并没有理论的根据，而是从实验中得到的，按理说得到的数值，精确度不高。

公元前2000年的巴比伦人以为圆周率的数值是3或

，而稍后时代的埃及人把圆周率的数值定为

（已修改成了现在的表示形式）。

此公式原式表示在有名的林德纸莎草纸上，写成小数就是3.16049.

说到圆周率的计算，那是经过无数的数学家用了无数的心血得来的成果。

那是经历了漫长的岁月的沉淀科学财富！

2.2.2圆周率几何法时期

经历了圆周率的实验时期，有了更多的人对圆周率有了各种各样的思考，计算方法也多种多样的，在此时期有一个有趣的故事。

被称为“圆面积问题”。

在大约2600年以前，希腊的印欧学派有位叫阿那克梅内斯的天文学家。

他的弟子中，有位优秀青年叫阿那克萨哥拉，他有着聪明的头脑，总是能正确地判断、解释天文学上的许多现象。

那时候的科学不发达，认为天文学上的事都是上天的旨意，也没有人进行科学的测量。

而阿那克萨哥拉却对太阳的运行，昼夜的变化，月圆月缺等进行了一系列的调查研究，试图对这些现象的解释说明。

但他的努力研究，在别人的眼中无疑是对神明的亵渎，因而受到当时人们的惩罚，被逮捕入狱，并没收全部书。

面临着这些阻力，阿那克萨哥拉没有放弃对科学的研究，他思考了一个问题，也就是著名的“圆面积问题”了，他的这种研究精神真是值得敬佩！

圆面积问题是世界三大难题之一，“作与圆相等面积的正方形”在几何作图上存在困难。

而还有两大难题是“将给定的三角形三等分”、“作出给定立方体的2倍体积的立方体”

之后还有很多数学家及学者研究着几何法计算的问题，下面谈谈我国对圆周率数值计算上的成就。

说到我国对圆周率的研究，首先要从刘徽的“割圆术”谈起，刘徽从圆内接正六边形开始算，然后边数一倍倍的增加，当正多边形边数足够多的时候，这时候的正多边形就接近圆形了。

用足够多的正多边形的面积数值来逐步逼近圆周率，这样就能无限精确地逼近圆周率，但每一项都比圆周率小，这就是刘徽的“割圆术”的本质。

刘徽的“割圆术”用数学语言写出来，就是有一个半径是1的圆O,作内接正六边形

（如图1）。

正六边形面积是

的面积的六倍。

由于：

所以，六边形的面积是:

刘徽的“割圆术”有两个可贵之处，其一在于：

怎样用已知的、可求的来逼近未知的、要求的；

另一点在于：

他把圆看做边数无穷的正多边形，用有限来逼近无限。

这种想法，在后期都起到了重要的作用，以致将可能永远起着重要的作用。

继刘徽的“割圆术”之后，有很多数学家就是用这种思想来计算圆周率的。

由正多边形得到的

的近似值的数学家有阿基米德（B.C.287-B.C.212）、皮沙诺（1175-？

）、比埃塔（1540-1603）、罗马奴斯（1561-1615）、卢多夫（1540-1610）等，他们研究的正多边形的边数分别是

、

，正确值分别是3.14、3.141、小数点后10位、小数点后15位、小数点后35位。

2.2.3圆周率的分析法时期

对于

的值，发现了很多的无穷级数和连分数，随着

的近似值的小数点后的位数的快速增长，用“割圆术”思想计算

值的竞争停止了。

但真正的竞争并没有结束，数学家们在寻找其他可以快速计算圆周率数值的方法。

其中一种方法叫做连分数法，连分数的创始者是数学家盖托蒂。

布朗开罗的连分数源于下式：

在有限的范围内计算上式，可先用繁分数形式，

又由

得

但计算中取的项数是有限的，导致

的值没超过3，存在很大的误差。

后来又出现了一种计算圆周率的方法，叫做弧度法。

至于是谁发明的弧度法，无法得知，在圆周上取与半径长度相同的弧，把该弧所对的中心角的大小，作为角度单位。

如中心角为

弧度时，弧长和扇形面积就比较好求了，即：

有了弧度法的公式问世，计算圆周率渐渐用上了很多式子，用展开式计算圆周率就是其中一种方法。

比较有名的莱布尼茨、欧拉、马庭等展开式，只是莱布尼茨展开式收敛较慢，而欧拉、马庭的展开式，收敛性较其他展开式又好些。

还有很多著名的数学家的计算公式和展开式，如：

高斯公式：

克拉森发表的公式：

达泽的公式：

莱布尼茨展开式：

欧拉展开式：

2.2.4计算机计算时期

数学家们有3000多年的时间,是在亲力亲为地研究计算圆周率的，有的甚至花掉了毕生的心血。

但毕竟人类的力量是有限的，人工计算圆周率的精度也是有限的，在1948年圆周率算到小数点后808位,达到了手算圆周率的一个新高点。

1945年第一台电子计算机问世后,

值的计算已经不会再显得那么困难，人们一直在超越知识，超越自己；

1949年人们才借助计算机的力量,将圆周率算到2037位。

随着数学的发展,科技的进步，又出现了很多公式来计算圆周率，这些都是数学家们的成果，这也给计算机计算圆周率提供了更好的平台。

在用计算机计算圆周率的时代,不断更新的公式、方法让圆周率的数值越发的精准。

1958年，

达到1万位，仅隔一年就达到16167位，可见计算机的参与，让

的位数成指数增长（稍有夸大）。

1988年，用巨型计算机就可使

的近似值达到以亿计位数，据说1989年，达到了4亿8千万。

总之，记录在不断被刷新！

我们在实际运算中其实只需取

的前几位数就行了,但为什么还一直在进行延长

位数的竞争?

曾有数学家说过：

“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。

”听着也不无道理。

就说如今，人们也以计算机技术是否高明来判断国家的科技水平，而计算

的近似值只是一个托而已，这场竞争将一直持续下去，不是说有人的地方就有竞争吗？

3用计算机求圆周率数值的方法

十九世纪时，圆周率的计算已经处于炙热状态，而且圆周率小数点后的位数也越来越多，到了二十世纪，随着计算机的发明和科技的发展，圆周率的计算已经不是什么难题，这时候圆周率小数点后的位数更是快速增加，而且近似值也比较准确。

下面主要介绍两种用计算机计算圆周率的方法：

数值积分法和蒙特卡罗法。

3.1数值积分法

3.1.1算法原理

如果一个圆的半径为1，那么我们知道这个圆的面积为

，只要知道圆的面积为多少，就可以知道圆周率为多少。

问题就在于要怎样算出或者估算出圆的面积，我们学习了积分，知道积分可以估算出一些不规则的形状的面积。

我们假如以这个单位圆的圆心为原点，建立直角坐标系。

则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线

及两条坐标轴围成，它的面积

算出了S的近似值，它的4倍便是

的近似值。

图3.1扇形G

如图3.1，作平行于y轴且将x轴上的区间[0,1]分成n等份（

）的直线，将扇形G分成n个宽度为

的部分

（

）。

为曲边梯形：

左右的边界是相互平行的直线段，类似梯形的两底，上边界为弧线，称为曲边梯形。

若

无限大，曲边梯形

的上边界就近似成直线段，

的面积

就近似成一个梯形的面积。

高为

，两条底边的长分别是

和

，于是曲边梯形面积

的近似值为

扇形面积S的近似值可以看作所有梯形面积之和T：

越大，T就越接近S，4T就越接近

值。

定积分

，就是图中扇形的面积。

是

的定积分，比

便于计算，计算

也更合适。

一般地，要计算定积分

，也就是计算曲线

和直线

所围成的面积S。

用分点

将扇形的半径分成

等份，若

足够大，这时可将曲边梯形的上边界看作直线段，

，

；

曲边梯形宽度都为

记为

是第

个曲边梯形的面积，则有

，当

时，有

，这就是梯形公式。

同理，把上边界看作是抛物线，