届一轮复习人教A版文专题03 导数及其应用学案Word文档格式.docx

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②若函数在x=x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x=x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．

③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；

后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，

④显然f′（x0）>

0，切线与x轴正向的夹角为锐角；

f′（x0）<

o，切线与x轴正向的夹角为钝角；

f（x0）=0，切线与x轴平行；

f′（x0）不存在，切线与y轴平行．

【利用导数求函数的最值步骤】

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

用导数的方法求最值特别提醒：

①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：

极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；

②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；

③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。

【生活中的优化问题】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：

判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，

不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；

（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'

（x）=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；

（3）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

利用导数解决生活中的优化问题：

（1）运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．

（2）利用导数求f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，

①求函数y=f（x）在（a，b）上的极值；

②将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）定义在开区间（a，b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．

【2017年高考全国卷1卷，文数14】

曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

【答案】

【考点】导数几何意义

【点拨】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：

设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

答题思路

【命题意图】主要考查导数的运算、导数的几何意义、直线方程的点斜式，考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.

【命题规律】导数的几何意义几乎是每年高考的必考内容，考查题型以选择题、填空题，有时出现在解答题的第

（1）问中，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：

（1）求切线方程；

（2）求切点坐标；

（3）求参数的值．

【答题模板】

求函数在点处的切线方程

第一步：

求导数得；

第二步：

利用直线方程的点斜式，写出直线方程；

第三步：

化简.

【方法总结】

函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即，切线方程为.

【2017年高考全国卷1卷，文21】

已知函数=ex（ex−a）−a2x．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

（1）当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增；

（2）．

（2）①若，则，所以．

②若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．

③若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．

综上，的取值范围为．

【考点】导数应用

【点拨】本题主要考查导数两大方面的应用：

（1）函数单调性的讨论：

运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；

（2）函数的最值（极值）的求法：

由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．

【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性、极（最）值、零点可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这部分主要通过考查导数的运算、导数的几何意义、导数的应用，考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.

【命题规律】纵观近几年的高考题可以发现，导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；

第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；

第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；

第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．

利用导数求函数单调区间：

确定函数的定义域（定义域优先）；

求导函数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；

第四步：

确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

注：

若函数式（不等式）中带有参数时，要分类讨论求得单调区间．

1.已知在某个区间上的单调性求参数问题

（1）对含参数的函数求导，得到；

（2）若函数在[a，b]上单调递增，则≥0恒成立；

若函数在[a，b]上单调递减，则≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；

（3）验证参数范围中取等号时，是否恒有＝0.若＝0恒成立，则函数在（a，b）上为常数函数，舍去此参数值.

（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某个区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增（减）区间的子集.

2.函数的极值与导数

（1）函数极值的概念

设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极大值，记作=；

设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极小值，记作=.

注意：

极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;

极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;

极值点不能在函数端点处取.

（2）函数极值与导数的关系

当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

若在附近的左侧，右侧，那么是极小值.

①在导数为0的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为0，但不是极值点；

②极值点导数不定为0，如函数在的左侧是减函数，右侧是增函数，在处取极小值，但在处的导数不存在.

（3）函数的极值问题

①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；

②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；

③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.

3.最值问题

（1）最值的概念

对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值.

①若函数存在最大（小）值，则值唯一；

最大值可以在端点处取；

若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.

②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值.

（2）函数最问题

①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；

②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式≤（≥）（是自变量，是参数）恒成立问题，≥（≤），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.

4.利用导数研究方程根的方法

研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

1.【2017年高考天津卷，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.

【答案】

【解析】

试题分析：

，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：

，令得出，在轴的截距为.

【考点】导数的几何意义

【点拨】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：

求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.

2．【2017年高考全国Ⅲ卷，文21】

已知函数=lnx+ax2+（2a+1）x．

（2）当a﹤0时，证明．

当时，则在单调递增，在单调递减；

（2）详见解析

当时，则在单调递增，