初升高数学衔接专题01 数与式的运算原卷版Word下载.docx

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【典型例题】

阅读下列材料：

我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；

这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；

例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．

例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．

例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；

若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|+2|=3的解为　；

（2）解不等式：

|－2|＜6；

（3）解不等式：

|－3|+|+4|≥9；

（4）解方程:

|-2|+|+2|+|-5|=15.

【变式训练】

实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简.

【能力提升】

已知方程组的解的值的符号相同.

（1）求的取值范围；

（2）化简：

.

高中必备知识点2：

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式；

（2）完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式；

（2）立方差公式；

（3）三数和平方公式；

（4）两数和立方公式；

（5）两数差立方公式．

（1）计算：

计算：

（1）

（2）

已知10x＝a，5x＝b，求：

（1）50x的值；

（2）2x的值；

（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）

高中必备知识点3：

二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；

而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；

二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式的意义

计算下面各题．

（1）;

小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：

解：

原式＝

＝

＝．

她的解法正确吗？

若不正确，请给出正确的解答过程．

先化简，再求值：

（-）÷

，其中a=+，b=-．

高中必备知识点4：

分式

1．分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；

．

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．

化简：

÷

（4x－y）

已知：

，则的值等于多少？

专题验收测试题

1．如图，若实数m＝﹣+1，则数轴上表示m的点应落在（　　）

A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上

2．观察下列各式及其展开式：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）

A．36B．45C．55D．66

3．已知，则等于（）

A．3B．2C．1D．0

4．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：

①a是无理数；

②a可以用数轴上的一个点来表示；

③3<

a<

4；

④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是

A．①④B．②③C．①②④D．①③④

5．定义一种关于整数n的“F”运算：

一、当n为奇数时，结果为3n＋5；

二、当n为偶数时,结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：

取n＝58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,第四次经F运算是74……，若n＝449,求第2020次运算结果是（）

A．1B．2C．7D．8

6．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（）

A．B．C．D．

7．定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则的值为（）

A．0B．1C．2D．与m有关

8．已知，，…，均为正数，且满足，，则，的大小关系是（　　）

9．下列运算正确的是（）

A．B．

C．D．

10．已知，为实数且满足，，设，．①若时，；

②若时，；

③若时，；

④若，则．则上述四个结论正确的有（）

A．1B．2C．3D．4

11．若，，则与的大小关系为（）

A．B．C．D．无法确定

12．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）

A．12B．14C．D．9

13．已知，且a>

b>

0，则的值为（）

A．B．±

C．2D．±

2

14．若有意义，那么直角坐标系中点A（a,b）在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

15．已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）

A．0B．3C．3D．9

16．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）

A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是

17．已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……．则3+32+33+34+…+32019的末位数字是____．

18．如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是，最小正方形的周长是，则_____.

19．对于整数a，b，c，d，定义＝ac﹣bd，已知1＜＜3，则b+d的值为_______．

20．已知，是二元一次方程组的解，则m+3n的平方根为______．

21．若满足关系式，则________．

22．若，则________________.

23．已知，则的值等于______．

24．已知函数，那么_____．

25．先化简，再求值：

，其中.

26．观察下列等式：

回答下列问题：

（1）利用你观察到的规律，化简：

（3）计算：

…．

27．已知

（1）求实数的值；

（2）若的整数部分为，小数部分为

①求的值；

②已知，其中是一个整数，且，求的值．

28．已知下面一列等式：

（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：

（2）验证一下你写出的等式是否成立；

（3）利用等式计算：

29．对有理数、、，在乘法运算中，满足：

①交换律：

②对加法的分配律：

.现对这种运算作如下定义，规定：

（1）这种运算是否满足交换律？

（2）举例说明：

这种运算是否满足对加法的分配律？

30．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：

（1）探究：

____；

___；

_____；

（2）猜想：

______（为正整数，且）；

（3）利用上述猜想的结论计算：

的值．