中国邮路问题及其算法Word下载.docx

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Abstract:

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Keywords:

Chinapostroad,eularcircuit,thebestroute.

1引言

中国邮路问题是我国著名图论学者管梅谷教授首先提出并解决的。

它起初为了帮助邮递员选择一条合适道路，使其在完成任务的同时所走路程最短，后来其方法在实际生产生活中有广泛的应用，如邮政部门，扫雪车线路，洒水车路线，警车巡逻路线等，具有很强的实用价值，本文紧抓其实质与核心，通过对传统中国邮路问题研究方法的归纳总结，帮助人们快速找出欧拉回路，实现了将数学知识应用于实际生活中，服务于人类。

2中国邮路问题

2.1图的概念

定义1二元组称为图，其中是非空集合，称为结点集，是诸结点之间边的集合，常用表示图。

（1）图可分为有限图与无限图两类，现只讨论,都是有限集，给定某个图，如果不加特别说明，认为，，即结点数，边数。

（2）图的边可以是有方向的，也可以是无方向的，它们分别称为有向边

和无向边，用表示。

定义2的某结点所关联的边数称为该结点的度，用表示。

定义3任意两结点间最多只有一条边，且不存在自环的无向图称为简单图。

性质1设有个结点，条边，则。

性质2中度为奇数的结点必为偶数个。

定义4若图的每条边都赋以一个实数作为该边的权，则称是赋权图，特别地，如果这些权都是正实数，就称是正权图，权可以表示该边的长度，时间，费用或容量等，如下图2.1所示：

图2.1

2.2道路与回路

2.2.1基本概念

定义1有向图中，若边序列，其中，满足是的终点,是的始点，就称是的一条有向道路，如果的终点是的始点，则称是的一条有向回路。

如果中的边没有重复出现，则分别称为简单有向道路和简单有向回路，进而，如果中结点也不重复出现，又分别称它们为初级有向道路或初级有向回路，简称为路或回路。

显然，初级有向道路（回路）一定是简单有向道路（回路）。

如下图2.2.1（a）所示：

图2.2.1（a）

边序列是有向道路；

边序列是有向回路；

边序列是简单有向道路；

边序列是简单有向回路；

边序列是初级有向道路；

边序列是初级有向回路。

定义2无向图中，若点边交替序列满足,是的两个端点，则称是中的一条链或道路；

如果,则称是中的一个圈或回路。

如下图2.2.1（b）所示：

图2.2.1（b）

边序列是道路；

边序列是回路；

边序列是简单道路；

边序列是简单回路；

边序列是初级道路；

边序列是初级回路。

定义3设是无向图，若的任意两结点之间都存在道路，则称是连通图，否则称为非连通图。

2.2.2欧拉回路

定义1对于连通的无向图，若存在一简单回路，它通过的所有边，则这回路称为的Euler回路。

定理1无向连通图存在欧拉回路的充要条件是中各结点的度都是偶数。

推论1若无向连通图中只有2个度为奇数的结点，则存在欧拉道路。

推论2若有向连通图中各结点的正、负度相等，则存在有向欧拉回路。

2.3中国邮路问题

中国邮路问题，它是由中国数学家管梅谷教授首先提出而得名。

设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的每一条街道，将信件送到后返回邮局，要求所走的路径最短，当然如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求的路径，如若不然，即存在度数为奇数的顶点时，必然有些街道需要走多于1遍，如何寻求最短的路？

（基本思路：

根据欧拉圈原理，用奇偶点图上作业法，使邮递路线为最短）

现将中国邮路问题用图论的语言描述如下：

设是连通图，而且对于所有的,都赋以权，求以点出发，通过所有边至少一次，最后返回点的回路，使得达到最小。

2.3.1无向图的中国邮路问题

邮递员从邮局出发，走完投递线路后又回到邮局，这就要求邮递员的行走路径必须是欧拉圈，但是由于城市街道及邮递点组成的图有三种基本类型，相应的就有三种类型线路，不管何种类型，归根到底，都要设法使之形成欧拉圈。

（1）图里没有奇次定点。

即中各结点的度都是偶数，那么一定有欧拉回路，显然任何一条欧拉回路都是该问题的解。

如下图2.3.1（a）所示：

图2.3.1（a）

投递路线为：

或者可为：

这时没有重复行走的街道，当然邮路最短。

（2）图中只有2个结点,的度是奇数，则一定存在从到的一条欧拉道路，它经过了的各边一次。

在中再找一条从到的最短道路，则中存在欧拉回路。

这样中的欧拉回路，即对应于中的边重复一次而其余边只过一次的回路是一条中国邮路，即最佳邮路。

如下图2.3.1（b）所示：

图2.3.1（b）

如图，，是奇次顶点，因此要构成一个欧拉回路，线路必须重复走一次，这样存在许多重复走的方案，例如;

;

等。

我们计算一下重复走的长度分别为4，6，5，5；

当然需要重复走的线路以为最好，故巧加边，是使其形成欧拉回路的方法，故此时线路为.总长度为21，且此路线是最短的。

（3）图中度为奇数的结点数多于2个，则需要添加很多条边，才能形成欧拉回路，且有几对奇次顶点，就要加几条边，此时巧加边问题更加重要。

如下图2.3.1（c）：

图2.3.1（c）

如图，有8个奇次顶点，它们是,,,,,,,.如何巧妙地把这8个奇次顶点恰当地组合成4对呢？

我们参照上一题的例子，便可将8个奇次顶点配成以下4对：

,,.这是必须重复走的最短线路，且长度为11，最优投递路线总长为60，其中一条最佳路线为

2.3.2有向图的中国邮路问题

（1）图中含有正度或负度为0的结点，此时不存在最佳邮路。

如图2.3.2（a）所示：

图2.3.2（a）

（2）图中各结点的正，负度相等，此时中一定存在有向欧拉回路。

它过每边一次且仅一次，因此任意一条欧拉回路都是中国邮路。

如下图2.3.2（b）所示：

图2.3.2（b）

（3）图不对称，即存在一些结点，，其中的值是以为始点的边的数目，的值是以为终点的边的数目。

不妨设，由于邮递员要经过进入的每条边，因此他一定要重复走以为始点的某条边。

设表示边的重复次数，表示该边的权，那么中国邮路要选择重复一些边后存在有向欧拉回路，并且使为最小的一个解，显然此时满足，

即.

（i）若，表示邮路中要次重复经过所发出的一些边，或者说可供应个单位量。

（ii）若,表示邮路中要次重复经过进入的一些边，或者说可接收个单位量。

（iii）若,则称是中间结点。

由于，所以，这样可以逐次保证每个可供应点经过一些边向某个接收点供应一个单位量，最后达到平衡，或者说这些道路上的边出现重复，最后得到的图是有向欧拉图，若这些重复边的总长最小，它即是最佳邮路。

例1求下图的中国邮路。

解此题显然是有向中国邮路问题中的不对称型，故

（1）各结点的为，，，。

（2）构造如下图2.3.2（c）:

图2.3.2（c）图2.3.2（d）

（3）得到2条总和最小的道路,；

，;

故.这样边重复2次，边重复1次，得图2.3.2（d），其中虚线边表示重复1次。

（4）图2.3.2（d）是欧拉图，其中一条欧拉回路，如就是最佳邮路。

3中国邮路问题的算法

3.1无向图的中国邮路问题的算法

3.1.1奇偶点图上作业法

（1）把中所有奇度数顶点配成对，将每对奇度数顶点之间的一条路上的每边改为二重边，得到一个新图,新图中没有奇度数顶点，即为多重Euler图。

（2）若中某一对顶点之间有多于2条边连接，则去掉其中的偶数条边，留下1条或2条边连接这两个顶点，直到每一对相邻顶点至多由2条边连接，得到图。

（3）检查的每一个圈,若某一个圈上重复边的权和超过此圈权和的一半，则将进行调整。

重复这一过程，直到对的所有圈，其重复边的权和不超过此圈权和的一半，得到图。

（4）求的Euler回路。

例2求下图所示图的中国邮路。

图G

解图中有6个奇度数顶点,,,,,.把它们配成三对：

与,与,与，在图中，取一条与的路，把边,,作为重复边加入图中；

再取与之间一条路，把边,,作为重复边加入图中，在和之间加一条重复边，如图

（2），这个圈没有奇度数点，是一个Euler图。

（2）（3）

在图

（2）中，顶点与之间有三条重边，去掉其中两条，得到图（3），该图仍是一个Euler图。

在图（3）中，圈的总权为24，而圈上重复边的权和为14，大于该圈总权的一半，于是去掉边和上的重复边，而在和上加入重复边，此时重复边的权和为10，小于该圈总权的一半。

同理，圈的总权和为15，去掉边和上的重复边，在边和上加重复边，如下图（4）：

（4）（5）

图（4）中，圈的总权为15，而重复边的权和为8，从而调整为图（5）。

图（5）中,圈的总权为36,而重复边的总权为20,继续调整为图（6）：

（6）

经检验，图（6）为最优方案，其中一条欧拉回路就是最佳邮路。

3.1.2最小权匹配算法

（1）确定中度为奇数的结点，构成。

（2）求各结点在中的最短路径及其长度。

（3）对的结点进行最小权匹配，即选出个,保证每个结点在中只出现一次，同时满足这些的总和最小。

（4）在最小权匹配里各所对应的路径中的诸边在中重复一次，得到。

（5）是欧拉图，它的一条欧拉回路即为最优解。

例3求下图所示图的中国邮路。

解显然此题属于无向图的中国邮路问题，故

（1）首先找到奇数结点，。

（2）求各结点在中的最短路径及长度，

，；

，；

，.

（3）对的结点进行最小权匹配，得最佳匹配,,。

（4）在最小权匹配里各所对应的路径中的诸边在中重复一次，得到下图。

（5）是欧拉图，故它的一条欧拉回路即为最优解。

3.1.3破圈法

（1）奇点处作出标记如加“*”或“o”;

（2）求该图的最小树（用破圈法，尽可能多的保留与奇点相连的边）；

（3）在最小树上的奇点处添加重复边，以消灭奇点；

（