备战中考数学复习《圆的综合》专项综合练习Word格式文档下载.docx

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分析：

先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；

（1）先判断出∠POQ=60°

，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（2）先在Rt△B'

OP中，OP2+（10

−10）2=（10-OP）2，解得OP=10

−10，最后用面积的和差即可得出结论．

先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=

OO′=

．

详解：

∵P是半径OB上一动点，Q是

上的一动点，

∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，

此时，∠POQ=90°

，PQ=

=10

（1）如图，连接OQ，

∵点P是OB的中点，

∴OP=

OB=

OQ．

∵QP⊥OB，

∴∠OPQ=90°

在Rt△OPQ中，cos∠QOP=

，

∴∠QOP=60°

∴lBQ=

（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝10

在Rt△B'

−10）2=（10-OP）2

解得OP=10

−10，

S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=

＝25π−100

如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，

则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是

所在圆的圆心，

∴O′C=OB=10，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，

∴O′C⊥AO，

∴O′C∥OB，

∴四边形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B=

在Rt△OBO′K，OO′=

∴OM=

×

=

即O到折痕PQ的距离为

点睛：

本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=

（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；

对称点的连线被对称轴垂直平分．

2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°

．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．

（1）求证：

直线AE是⊙O的切线．

（2）求图中阴影部分的面积.

【答案】

（1）见解析;

（2）

（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°

，即可得到AE是⊙O的切线；

（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.

证明：

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

即∠BAC+∠ABC=90°

∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，

∴∠EAC=∠ABC

∴∠BAC+∠EAC=90°

即∠BAE=90°

∴直线AE是⊙O的切线；

（2）连接OD

∵BC=6AC=8

∴

∴OA=5

又∵OD=OA

∴∠ADO=∠BAD=45°

∴∠AOD=90°

∴

（

）

此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.

3．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，

），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度数；

（3）在

（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．

（1）8；

（2）①7；

②105°

（3）t=6﹣

或6+

（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；

（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'

﹣FE'

=EF=7，列式得：

3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°

，则∠FBA=120°

，再得∠MBF=45°

，相加可得：

∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°

+60°

=105°

（3）分两种情况讨论：

作出距离MN和ME，第一种情况：

如图5由距离为1可知：

BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°

，列式为3t+

=2t+6，解出即可；

第二种情况：

如图6，同理可得t的值．

（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．

∵点A的坐标为（﹣2，

），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=

，BE=3﹣2=1，∴AB=

=2．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×

4=8；

（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'

=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由

（1）可知：

BE=1，AE=

∴tan∠EBA=

，∴∠EBA=60°

，如图4，∴∠FBA=120°

∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=

∠FBA=

=60°

∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．

∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，

∴∠MBF=45°

，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°

（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：

第一种情况：

如图5．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°

，∴∠CBD=60°

，∴∠NBE=60°

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°

∵ME=1，∴EB=

，∴3t+

=2t+6，t=6﹣

如图6．

，∴∠DBC=60°

，∴∠NBE=120°

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°

∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°

，EB=

∴3t=2t+6+

，t=6+

综上所述：

当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣

本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．

4．阅读：

圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：

同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

解决问题：

如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°

的点P有_______个；

（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°

，求满足条件的点P的坐标；

（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时,满足条件的点P有4个，求m的取值范围．

（1）无数；

（2）（0，

）或（0，

）；

（3）0﹤m﹤

试题分析：

（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°

，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°

即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合

（1）中的分析可知：

当点P在y轴的正半轴上时，点P是

（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．

（3）由三角形外角的性质可证得：

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，由此即可求出m的范围．

试题解析：

解：

（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．

在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=

∠ACB=

60°

=30°

，∴使∠APB=30°

的点P有无数个．

故答案为：

无数．

（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．

∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=

AB=2，∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=

=2

，∴点C的坐标为（3，2

）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，2

），∴CD=3，OD=2

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°

∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2=

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=

，∴P1（0，2

+

），P2（0，2

﹣

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

理由：

可证：

∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=

得：

当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°

，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=

，∴m的取值范围是

本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．

5．已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．

（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：

∠ACP+∠ACQ=180°

（2）如图②，若∠BAC=60°

，试探究PA、PB、PC之间的关系．

（3）若∠BAC=120°

时，

（2）中的结论是否成立？

若是，请证明；

若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．

（1）证明见解析；

（2）PA=PB+PC．理由见解析；

时，

（2）中的结论不成立，