最新北师大版七年级数学辅导资料很好Word文件下载.docx

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分析：

解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：

，，且，那么

的值（C）

A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号

由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以

数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；

若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

设甲数为x，乙数为y

由题意得：

，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<

0，y>

0，则4y=8，所以y=2,x=-6

若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>

0，y<

0，则-4y=8，所以y=-2,x=6

（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即x<

0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12

若x、y在原点右侧，即x>

0，则2y=8，所以y=4,x=12

例4．（整体的思想）方程的解的个数是（D）

A．1个B．2个C．3个D．无穷多个

这道题我们用整体的思想解决。

将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。

例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

利用绝对值的非负性，我们可以得到：

|ab－2|=|a－1|=0，解得：

a=1,b=2

于是

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，

如果题目变成求值，你有办法求解吗？

有兴趣的同学可以在课下继续探究。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

____相等.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为．

点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。

那么点A呢？

因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。

那么，如何求出A与B两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<

-1时，距离为-x-1,当-1<

x<

0时，距离为x+1，当x>

0，距离为x+1

综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为

（3）结合数轴求得的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.

即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1图2图3

图2符合题意

（4）满足的的取值范围为x<

-4或x>

-1

同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。

本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。

借助数轴，我们可以得到正确答案：

-1。

借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。

这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。

事实上，表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。

这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。

四、小结

1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

第二讲：

代数式的化简求值问题

一、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：

一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式的值与x无关，

求的值.

多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零

因为

所以m=4

将m=4代人，

利用“整体思想”求代数式的值

例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。

因为

当x=-2时，得到，

所以

当x=2时，=

例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.

观察两个代数式的系数

由得，利用方程同解原理，得

整体代人，

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4．已知，求的值.

解法一（整体代人）：

由得

所以：

解法二（降次）：

方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

由，得，

解法三（降次、消元）：

（消元、、减项）

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：

A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；

B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）

第一年：

A公司10000；

B公司5000+5050=10050

第二年：

A公司10200；

B公司5100+5150=10250

第n年：

A公司10000+200（n-1）；

B公司：

[5000+100（n-1）]+[5000+100（n-1）+50]

=10050+200（n-1）

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。

例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，

则的值是_______。

因为abc<

0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>

0，所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<

0，b>

0，c>

则ab<

0，ac<

0，bc>

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。

同理，当b<

0，c<

0时，x=0。

另：

观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。

有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的

代数式表示为__________________________．

OA上排列的数为：

1，7，13，19，…

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，

归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×

6-1，所以17在射线OE上。

因为2008=334×

6+4=335×

6-2，所以2008在射线OD上

例8．将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1357

第二行1513119

第三行17192123

第四行31292725

根据上面规律，2007应在

A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列

观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找

第三列数：

3，11，19，27，规律为8n-5

因为2007=250×

8+7=251×

8-1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，

所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：

①当n为奇数时，结果为3n＋5；

②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；

1352是偶数，经过“F②”变为169，

169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，

1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。

因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。

希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。

体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

第三讲：

与一元一次方程有关的问题

一、知识回顾

一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。

一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。

典型例题：

例1．若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（）

A．B．1C．-D．0

本题考查基本概念“方程的解”

因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解，

所以，解得k=-

例2．若方程3x-5=4和方程的解相同