概论与数理公式全Word下载.docx
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在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
如下性质：
1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母
A,B,C,…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，？
为不可能事件。
不可能事件（?
）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；
同理，
必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件
的关系与
运算
1关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
AB
如果冋时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：
A=B
A、B中至少有一个发生的事件：
AB,或者A+Bo
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB，匕表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生：
AB,或者ABAB=?
，则表示A与B不可能冋时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算：
结合率：
A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC
分配率：
（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）nC=（AC）U（BC）
AiAi
德摩根率：
i1i1ABAB,ABAB
（7）概率的公理化定义
设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：
1°
0<
P（A）<
1,
2°
P（Q）=1
3°
对于两两互不相容的事件A1,A2，…有
PAiP（Ai）
i1i1
常称为可列（完全）可加性。
则称P（A）为事件A的概率。
1,2n，
2P
（1）P
（2）P（n）
1
o
n
（8）古典
设任一事件A，它是由1,2
m组成的，则有
概型
P（A）=
（1）
（2）（m）=
=P
（1）P
（2）
P（m）
mA所包含的基本事件数
n基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，
同时样本空
（9）几何
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何
概型。
对任一事件A，
P（A）LB。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
公式
当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）
P（A-B）=P（A）-P（AB）
（11）减法
当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）
当A=Q时，P（B）=1-P（B）
定义设A、B是两个事件，且P（A）>
0,
则称P（AB）为事件A发生条件下，事
P（A）
（12）条件
概率
件B发生的条件概率，记为P（B/A）旦也。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P（Q/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）
乘法公式：
P（AB）P（A）P（B/A）
（13）乘法
更一般地，对事件A,A,…A,若P（AA…An-1）>
0,则有
P（A1A2...An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）
P（An|A1A2...
An1）。
（14）独立
性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有
P（B|A）叭P（A）P（B）P（B）
P（A）P（A）
若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件？
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）；
P（BC）=P（B）P（C）；
P（CA）=P（C）P（A）
并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概
设事件B1，B2，，Bn满足
1°
B1,B2，，Bn两两互不相容，P（Bi）°
（i12，，n），
ABi
i1
J?
则有
P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。
（16）贝叶
斯公式
设事件B1,B2,…，Bn及A满足
B1,B2,…，Bn两两互不相容，P（Bi）>
o,i1,2,…，n,
i1,P（A）0,
则
P（Bi）P（A/BJ
P（Bi/A）n丿,i=1,2,・・・n。
P（Bj）P（A/Bj）
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P（Bi）,（i1,2，…，n）,通常叫先验概率。
P（Bi/A）,（i1,2，…，
n）,通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
我们作了n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
（17）伯努
否是互不影响的。
利概型
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）表
示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，
_....kknk
Pn（k）Cnpq,k0,1,2,,n。
第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<
（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为
P（X=Xk）=pk,k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出：
x|X1,x2,,xk,
P（Xxk）p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件：
pk1
（1）pk0,k1,2,,
（2）k1。
（2）连续
设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x）,对任意实数x,有
型随机变
x
F（x）f（x）dx
量的分布
则称X为连续型随机变量。
f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，
简称概
密度
率密度。
密度函数具有下面4个性质：
f（x）0。
f（x）dx1
2。
（3）离散
P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx
与连续型
积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）
Pk在离
随机变量
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
的关系
（4）分布
函数
设X为随机变量，X是任意实数，则函数
F（x）P（Xx）
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
P（aXb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。
分布
函数F（x）表示随机变量落入区间（-
oo
x］内的概率。
分布函数具有如下性质：
0F（x）1,X
;
F（x）是单调不减的函数，即
X1
X2时，有F（X1）F（X2）；
F（）limF（x）0,
F（
）limF（x）1;
X
4°
F（x0）
F（x）,
即F（x）是右连续的;
5°
P（Xx）
F（x）
F（x0）。
对于离散型随机变量，
Pk;
XkX
对于连续型随机变量，
f（x）dx。
（5）八大0-1分布P（X=1）=p,P（X=0）=q
二项分布
在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。
事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。
P（Xk）Pn（k）C：
pkqnk，其中
q1P,0p1,k0,1,2,,n，
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为
X~B（n,p）。
当n1时，P（Xk）pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P（Xk）—e，0，k0,1,2，
k!
则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或
者P（）。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nis）。
超几何分布
CM?
CNMk0,1,2,1
（）CN,1min（M,n）
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。
几何分布
P（Xk）qk1p,k1,2,3,，其中p>
0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。
均匀分布
设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,b］
上为常数1，即
ba
…、,a<
x<
b
f（X）ba其他,
0,
则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。
分布函数为
厂0,x<
a,
xa
Jba'
awx<
F（x
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