中考数学第一部分基础知识过关第四章图形初步认识与三角形第18讲直角三角形与三角函数精练76Word格式文档下载.docx
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,∠MBC=30°
则警示牌的高CD为 米(结果精确到0.1米,参考数据:
≈1.41,
≈1.73).
8.(2018德州)如图,在4×
4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是 .
三、解答题
9.(2018东营)关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.
(1)求sinA的值;
(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.
B组 提升题组
1.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C'
处,BC'
交AD于点E,则线段DE的长为( )
A.3B.
C.5D.
2.(2018枣庄)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )
C.
3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .
4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°
∠ABC=90°
直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1、l2、l3分别经过点A、B、C,则边AC的长为 .
5.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.
从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?
1.B 在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=
=12,∴sinA=
=
.故选B.
2.A ∵在直角三角形中,勾为3,股为4,
∴弦为
=5.
故选A.
3.B ∵EB∥CD,∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACD,
∴
即
∴CD=10.5m.
故选B.
4.C 根据题意可知BE=AE.设CE=x,
则BE=AE=8-x.
在Rt△BCE中,根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,
即(8-x)2=62+x2,解得x=
.
∴tan∠CBE=
故选C.
5.A 设CD=x米,则AD=2x米,由勾股定理可得,AC=
x米.
∵AC=3
米,
x=3
∴x=3,即CD=3米,
∴AD=2×
3=6米.在Rt△ABD中,BD=
=8米,
∴BC=8-3=5米.故选A.
6.答案
解析 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°
AB=13,AC=7,
∴sinB=
7.答案 2.9
解析 由题意可得:
∵AM=4米,∠MAD=45°
∴DM=4米,
∵AM=4米,AB=8米,
∴MB=12米,
∵∠MBC=30°
∴BC=2MC,
∴MC2+MB2=(2MC)2,
MC2+122=(2MC)2,
∴MC=4
≈6.92(米),CD=MC-4≈2.9米.
8.答案
解析 ∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°
则sin∠BAC=
9.解析
(1)∵关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,
∴Δ=25sin2A-16=0,
∴sin2A=
∴sinA=±
∵∠A为锐角,
∴sinA=
(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,则Δ≥0,
∴100-4(k2-4k+29)≥0,
∴-(k-2)2≥0,
∴(k-2)2≤0,
又∵(k-2)2≥0,
∴k=2.
把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,
解得y1=y2=5,
∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.
分两种情况:
①∠A是顶角时:
如图1,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,
∵sinA=
∴AD=3,BD=4,
∴DC=2,
∴BC=2
∴△ABC的周长为10+2
②∠A是底角时:
如图2,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5,
∴AD=DC=3,
∴AC=6.
∴△ABC的周长为16.
综上,△ABC的周长为10+2
或16.
1.B 设ED=x,则AE=6-x.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠DBC.
由题意得:
∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.
由勾股定理得:
BE2=AB2+AE2,
即x2=32+(6-x)2,
解得:
x=
∴ED=
2.A ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵点E是边BC的中点,
∴BE=
BC=
AD,
∴△BEF∽△DAF,
∴EF=
AF,
AE,
∴由矩形的对称性得:
AE=DE,
DE,设EF=x,则DE=3x,
∴DF=
=2
x,
∴tan∠BDE=
3.答案
解析 将正方体展开,右边与后面的正方形及前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,
∵△BCM∽△ACN,
即
=2,即MC=2NC,
∴CN=
MN=
在Rt△ACN中,根据勾股定理得:
AC=
4.答案
解析 过点B作DE⊥l2,交l1于D,交l3于E,如图,
∵DE⊥l2,l1∥l2∥l3,
∴DE⊥l1,DE⊥l3,
∴∠ABD+∠DAB=90°
∠ADB=∠BEC=90°
又∵∠ABC=90°
∴∠ABD+∠EBC=90°
∴∠DAB=∠EBC,
在△ABD和△BCE中,
∠ADB=∠BEC,
∠DAB=∠EBC,
∴△ABD∽△BCE,
在△ABC中,
∠BAC=60°
tan∠BAC=
∵DB=1,BE=2,
∴EC=
AD=
在Rt△ABD中,AD=
DB=1,
∴AB2=
EC=
BE=2,
在Rt△BCE中,
∴BC2=7,
∴AC2=BC2+AB2=7+
∴AC=
5.解析
(1)∵△CDQ≌△CPQ,
∴DQ=PQ,PC=DC,
∵AB=DC=5,AD=BC=3,
∴PC=5,
在Rt△PBC中,PB=
=4,
∴PA=AB-PB=5-4=1,
设AQ=x,则DQ=PQ=3-x,
在Rt△PAQ中,(3-x)2=x2+12,
解得x=
∴AQ=
(2)如图,过M作EF⊥CD于F,
则EF⊥AB,
∵MD⊥MP,
∴∠PMD=90°
∴∠PME+∠DMF=90°
∵∠FDM+∠DMF=90°
∴∠MDF=∠PME,
∵M是QC的中点,
∴DM=PM=
QC,
在△MDF和△PME中,
∴△MDF≌△PME(AAS),
∴DF=ME,MF=PE,
∵EF⊥CD,AD⊥CD,
∴EF∥AD,
∵QM=MC,∴DF=CF=
DC=
∴ME=
∵ME是梯形ABCQ的中位线,
∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,
∴AQ=2.
6.解析 过P点作PE⊥BC于E,过D点作DF⊥BC于F,
∴DF=AB=8cm.
FC=BC-AD=18-12=6cm.
①当PQ⊥BC时,
BE+CE=18cm.即2t+t=18,
∴t=6;
②当QP⊥PC时,
当P在DC边上时,可得PC=22-2t,QC=t,
此时满足
则t=
当P在AD边上时,CE=BC-2t=(18-2t)cm,
PE=8cm,QE=t-CE=(3t-18)cm,
易知PE2=QE·
CE,
∴64=(3t-18)(18-2t),无解.
③当PC⊥BC时,因为∠DCB<
90°
所以此种情形不存在.
∴当t=6或
时,△PQC是直角三角形.