版中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 图形的初步认识与三角形 第15讲 全等三角形与尺规作图精练.docx

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版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第15讲全等三角形与尺规作图精练

第15讲　全等三角形与尺规作图

A组　基础题组

一、选择题

1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是（　　）

A.SSSB.SAS

C.ASAD.AAS

2.（2018河北）尺规作图要求:

Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.

下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:

则正确的配对是（　　）

A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ

B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ

C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ

D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ

3.（2016浙江丽水）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是（　　）

4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为（　　）

A.

B.4C.2

D.5

5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为（　　）

A.6B.6

C.9D.3

6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:

①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是（　　）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:

①AC⊥BD;②AO=CO=

AC;③△ABD≌△CBD.

其中正确的结论有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

8.（2018德州）如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为　　　　. 

9.如图,AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动 

分钟后△CAP与△PQB全等.

10.（2017江苏淮安）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF=　　　　. 

三、解答题

11.（2018河北,23,9分）如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.

（1）求证:

△APM≌△BPN;

（2）当MN=2BN时,求α的度数;

（3）若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.

12.（2018泰安）如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.

（1）求证:

△ECG≌△GHD;

（2）小亮同学经过探究发现:

AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;

（3）若∠B=30°,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.

B组　提升题组

一、选择题

1.（2018南京）如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为（　　）

A.a+cB.b+c

C.a-b+cD.a+b-c

2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是（　　）

3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:

①BE=

GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.

其中,正确的结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BD平分∠ABC且与AC边交于点D,AD=2,则点D到边BC的距离是　　　　. 

5.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:

　　　　,使△AEH≌△CEB. 

6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为　　　　. 

三、解答题

7.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:

（1）DF=AE;

（2）DF⊥AC.

第15讲　全等三角形与尺规作图

A组　基础题组

一、选择题

1.A　从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A.

2.D　根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.

3.D　A.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意.

D.无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D.

4.B　∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=AC=4.

5.C　由垂直平分线的性质定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30°,∴AD平分∠BAC.

∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6.

∴BC=BD+CD=9.

6.D　如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确.根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE,故④正确.故选D.

7.D　在△ABD与△CBD中,

∴△ABD≌△CBD（SSS）,

故③正确.

∴∠ADB=∠CDB,

在△AOD与△COD中,

∴△AOD≌△COD（SAS）,

∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC=

AC,

∴AC⊥BD,故①②正确.故选D.

二、填空题

8.答案　3

解析　过C作CF⊥AO.

∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,

∴CM=CF.

∵OC=5,OM=4,

∴CM=3,

∴CF=3.

故答案为3.

9.答案　4

解析　∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,

∴∠A=∠B=90°,

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等,则BP=xm,BQ=2xm,AP=（12-x）m,

分两种情况:

①若BP=AC,则x=4,此时AP=12-4=8m,BQ=8m,∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ（SAS）;

②若BP=AP,则12-x=x,解得x=6,此时BQ=12m,BQ≠AC,

∴△CAP与△PQB不全等.

综上所述:

运动4分钟后△CAP与△PQB全等.

10.答案　2

解析　∵D为AB的中点,AB=8,∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分别为AC,AD的中点,∴根据三角形中位线定理,得EF=2.

三、解答题

11.解析　

（1）证明:

∵P为AB中点,

∴PA=PB.

又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,

∴△APM≌△BPN.

（2）由

（1）得PM=PN,

∴MN=2PN,

又∵MN=2BN,

∴PN=BN,

∴α=∠B=50°.

（3）40°<α<90°.

∵△BPN的外心在该三角形的内部,

∴△BPN是锐角三角形,

∴∠BPN和∠BNP都为锐角,

又∵∠B=50°,

∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.

12.解析　

（1）证明:

∵AF=FG,

∴∠FAG=∠FGA,

∵AG平分∠CAB,

∴∠CAG=∠FAG,

∴∠CAG=∠FGA,

∴AC∥FG.

又∵DE⊥AC,

∴FG⊥DE,

又∵FG⊥BC,

∴DE∥BC,

∴AC⊥BC,

∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,

∵F是AD的中点,FG∥AE,

∴H是ED的中点,

∴FG是线段ED的垂直平分线,

∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,

∴∠CGE=∠GDE,

∴△ECG≌△GHD.

（2）证明:

过点G作GP⊥AB于点P,

∴GC=GP,

∴△CAG≌△PAG,

∴AC=AP.

由

（1）得EG=DG,

∴Rt△ECG≌Rt△GPD,

∴EC=PD,

∴AD=AP+PD=AC+EC.

（3）四边形AEGF是菱形,理由如下:

∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,

∴AE=

AD,∴AE=AF=FG.

由

（1）得AE∥FG,

∴四边形AEGF是菱形.

B组　提升题组

一、选择题

1.D

2.A　根据垂线的作法,选项A错误.故选A.

3.B　∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,

∵AG=CE,

∴BG=BE,

由勾股定理得:

BE=

GE,∴①错误;

∵BG=BE,∠B=90°,

∴∠BGE=∠BEG=45°,

∴∠AGE=135°,

∴∠GAE+∠AEG=45°,

∵AE⊥EF,

∴∠AEF=90°,

∵∠BEG=45°,

∴∠AEG+∠FEC=45°,

∴∠GAE=∠FEC,

在△GAE和△CEF中,

∴△GAE≌△CEF,∴②正确;

∴∠AGE=∠ECF=135°,

∴∠FCD=135°-90°=45°,

∴③正确;

∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,

∴∠FEC<45°,

∴△GBE和△ECH不相似,

∴④错误.

故选B.

二、填空题

4.答案　2

解析　过D作DE⊥BC于E.∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴DE=AD=2.故点D到边BC的距离为2.

5.答案　AH=CB（或EH=EB或AE=CE）

解析　∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,

∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90°,

∴∠B+∠BCE=90°,∠B+∠BAD=90°,

∴∠BCE=∠BAD,

∴AH=CB或EH=EB或AE=CE,可证△AEH≌△CEB.

6.答案　

解析　∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,∴CF=

DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18.又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=

=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=

BE=

.

三、解答题

7.证明　

（1）延长DE交AB于点G,连接AD.

∵四边形BCDE是平行四边形,

∴ED∥BC,ED=BC.

∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,

∴AG=BG,DG⊥AB.

∴AD=BD,∴∠BAD=∠ABD.

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.

又BF=BC,∴BF=DE.

∴在△AED与△DFB中,

∴△AED≌△DFB（SAS）,

∴AE=DF,即DF=AE.

（2）设AC与FD交于点O.

∵由

（1）知,△AED≌△DFB,

∴∠AED=∠DFB,

∴∠DEO=∠DFG.

∵∠DFG+∠FDG=90°,

∴∠DEO+∠EDO=90°,

∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.