普通高等学校招生全国统一考试最新信息卷 理科数学十.docx

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普通高等学校招生全国统一考试最新信息卷理科数学十

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2018年普通高等学校招生全国统一考试最新信息卷

理科数学（十）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由题意得．选B．

2．设（为虚数单位），其中，是实数，则等于（）

A．5B．C．D．2

【答案】A

【解析】由，得，

∴，解得，∴．选A．

3．某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是（）

A．68B．72C．76D．80

【答案】B

【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是人．选B．

4．的展开式中的系数为（）

A．15B．C．5D．

【答案】C

【解析】二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为．选C．

5．已知双曲线是离心率为，左焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若的面积为20，其中是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由可得，∴，故．

∴双曲线的渐近线方程为，由题意得，，

∴，解得，∴，，

∴双曲线的方程为．选A．

6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体（如图所示），

其体积．

7．执行如下图的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】运行框图中的程序可得

①，，不满足条件，继续运行；

②，，不满足条件，继续运行；

③，，不满足条件，继续运行；

④，，不满足条件，继续运行；

⑤，，满足条件，停止运行，输出．选C．

8．等比数列的前项和为，公比为，若，则，（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意得．由得，

∴，∴．又，∴．选B．

9．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）

A．关于直线对称B．关于直线对称

C．关于点对称D．关于点对称

【答案】D

【解析】由题意得，故，∴，

∴，

∴，∴．

∵，，

∴选项A，B不正确．

又，

，∴选项C不正确，选项D正确．选D．

10．已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，球的表面积为，平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由，，，得，∴．

设球半径为，，则由平面知为外接球的直径，

在中，有，又，∴，∴．

∴，．

设点到平面的距离为，

则由，得，

∴，又，∴直线与平面所成角正弦值为．选C．

11．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由已知得，故；∵的面积为，

∴，∴，又，

∴，，∴，

又，∴，∴．

即的取值范围为．选D．

12．已知对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．

令，，则，

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

∴，∴，

∴．故实数的取值范围是．选A．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数，满足条件，若的最小值为，则实数__________．

【答案】

【解析】作出不等式组表示的可行域，为如图所示的四边形，且，，，．

由得，

①当时，平移直线，结合图形得当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，且，由，得，符合题意．

②当时，平移直线，结合图形得当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，且，不合题意．

综上．

14．若函数是偶函数时，，则满足的实数取值范围是________．

【答案】

【解析】∵函数是偶函数，且时，，

∴时，单调递增，∴时，单调递减．

又，∴不等式可化为，

∴，∴，解得，

∴实数取值范围是．

15．已知平行四边形中，，，点是中点，，则_________．

【答案】13

【解析】由，得，

设，∴，解得．

∴．

16．已知数列的前项和为，且，，时，，则的通项公式___________．

【答案】

【解析】由得．

又，，

∴．又，∴，∴，∴，

∴数列是首项为，公差为的等差数列，

∴，

∴当时，，

又满足上式，∴．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在中、、分别为角、、所对的边，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）由及，

得，

，又在中，，

，，．

（2）在中，由余弦定理得，即，

，解得，

∴的面积．

18．（12分）在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，是等边三角形，点在上．且．

（1）证明：

平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）连，交于点，连．

∵在等腰梯形中，，，

，，，，

，，又平面，平面，

∴平面．

（2）取中点，中点，连，，显然．又平面平面，平面平面，所以平面．由于、分别为、中点，且在等腰梯形中，，则．

以为原点建立下图所示空间直角坐标系．

设，则，，，，

∴，，，

∴，

设平面的一个法向量为，

可得，

令，可得，，则．

设平面的一个法向量为，

可得，

令，可得，，则．

∴，

由图形知，二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工，得到数据如下表：

愿意接受外派人数

不愿意接受外派人数

合计

80后

20

20

40

90后

40

20

60

合计

60

40

100

（1）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；

（2）该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名，组成80后组，在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组．

①求这12人中，80后组、90后组愿意接受外派的人数各有多少?

②为方便交流，在80后组、90后组中各选出3人进行交流，记在80后组中选到愿意接受外派的人数为，在90后组中选到愿意接受外派的人数为，求的概率．

参考数据：

参考公式：

，其中．

【答案】

（1）能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”；

（2）①3，4．②．

【解析】

（1）由列联表可得，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”．

（2）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，在90后组中，愿意接受外派人数为4．

②“”包含“，”，“，”，“，”，“，”，“，”，“，”六种情况．

且，，

，，

，．

∴．即的概率为．

20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点是抛物线上的一点，以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为．

（1）求抛物线的标准方程：

（2）设直线在轴上的截距为6，且与抛物线交于，两点，连接并延长交抛物线的准线于点，当直线恰与抛物线相切时，求直线的方程．

【答案】

（1）；

（2）直线的方程为或．

【解析】

（1）设抛物线方程为，

∵以为圆心，为半径的圆与轴相切，切点为，

∴，∴该抛物线的标准方程为．

（2）由题知直线的斜率存在，设其方程为，

由消去整理得，

显然．设，，则．

抛物线在点处的切线方程为，

令，得，可得点，

由，，三点共线得，

∴，即，

整理得，

∴，

解得，即，

∴所求直线的方程为或．

21．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线与轴垂直．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意（其中为自然对数的底数），都有恒成立，求的取值范围．

【答案】

（1）单调减区间为，单调增区间为；

（2）．

【解析】

（1）∵，定义域为，

∴．由题意知，解得，

∴，由，解得；由，解得，

的单调减区间为，单调增区间为．

（2）由

（1）知，

．

设，则，

令，则，

时，，故在上单调递减，

，时，，单调递减，

时，，

由题意知，又，．

下面证明当，时，成立，

即证成立，

令，则，

由，，得，故在是增函数，

时，，

成立，即成立，

故正数的取值范围是．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）【选修4-4：

坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动．

（1）若点在射线上，且，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设，求面积的最大值．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）设，则，

又，，，

，．

将，代入上式可得点的直角坐标方程为．

（2）设，则，，

的面积

，

当且仅当，即时等号成立．

面积的最大值为．

（用直角坐标方程求解，参照给分）

23．（10分）【选修4-5：

不等式选讲】

设，，且，求证：

（1）；

（2）．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】

（1），，，

，

．

（2）

，

，，，

．