高中文科数学优化设计第一轮复习19高考模拟卷文档格式.docx
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所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,
则-1<
k<
0,直线l的方程为y-0=k(x-),即kx-y-k=0.
则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为
.
则S△ABO=
=.
令=t,则S△ABO=,当t=,
即时,S△ABO有最大值为.
此时由,解得k=-.
B
15.(2015江西重点中学协作体二模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)设直线x-2y+1=0的倾斜角为α,则cos2α+sin2α的值为 .
∵直线x-2y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=.
∴cos2α+sin2α=
15.(2015江西上饶一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)过双曲线=1(a>
0,b>
0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为 .
双曲线=1的右焦点F(c,0),
一条渐近线方程为y=x,
则F到渐近线的距离为d==b,
直线m:
y=(x-c),
原点到直线m的距离为=a,
由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2.
2
9.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
由题意可得点P(-,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1,
即3k2-2k+1≤k2+1,解得0≤k≤,
故直线l的倾斜角的取值范围是.
D
10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )
A.(0,1)B.C.D.
设点P(x,y)(x>
0,y>
0),
由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,
故k1k2k3=
5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)B.
C.D.
直线xsinα+y+2=0的斜率为k=-sinα,
∵|sinα|≤1,∴|k|≤1.
∴倾斜角的取值范围是.
123
直线的方程
1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.
解:
(1)∵椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
∴c=2,,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.
∴椭圆方程为=1.
(2)直线l的方程为y=k(x-2).
联立方程组消去y并整理,
得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
故x1+x2=,x1x2=.
则|AB|=|x1-x2|
=
设AB的中点为M(x0,y0).
可得x0=,y0=-.
直线MP的斜率为-,又xP=3,
所以|MP|=·
|x0-xP|
当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,
∴,
解得k=±
1.
∴直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.
20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C:
=1(a>
b>
0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.
(1)依题意,4a=4,a2-b2=1.
所以a=,b=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N,
直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.
依题意得,
则,可得,令=λ(λ<
由消去x,得(t2+2)y2-2ty-1=0,
则把y1=λy2代入整理,得
=-.①
由消去x,得y2-4ty-16=0,
则把y3=λy4代入,整理得=-t2.②
由①②消去λ,得=t2,解得t=0或t=±
故直线l的方程为x=-1或x-y+1=0或x+y+1=0.
15.(2015江西上饶重点中学二模,文15,直线的方程,填空题)过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为 .
由题意,所求直线有两条,其中一条是经过点P且与AB平行的直线;
另一条是经过P与AB中点C的直线.
∵A(2,-3),B(4,5),
∴AB的斜率k==4.
可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4(x-3),
化简得4x-y-13=0.
∵AB中点为C(3,1),
∴经过P,C的直线方程为x=3.
综上,所求直线的方程为4x-y-13=0或x=3.
4x-y-13=0或x=3
7.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文7,直线的方程,选择题)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x+y-1=0B.2x-y-5=0
C.2x+y=0D.x+y-3=0
圆(x-1)2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于=-1,由点斜式得到直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
9.2点与直线、两条直线的位置关系
124
两条直线的平行与垂直
6.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文6,两条直线的平行与垂直,选择题)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值等于( )
A.0B.2C.4D.
若b=2,两直线方程分别为y=-x-1和x=,此时两直线相交但不垂直.
若b=-2,两直线方程分别为x=-和y=x-,此时两直线相交但不垂直.
所以当b≠±
2时,两直线方程分别为y=-x-和y=-x+,
此时两直线的斜率分别为-,-,
由-=-1,得a2+b2=4.
因为a2+b2=4≥2ab,
所以ab≤2,即ab的最大值等于2,当且仅当a=b=时取等号.
4.(2015黑龙江绥化一模,文4,两条直线的平行与垂直,选择题)设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·
x-ay-c=0与bx+sinB·
y+sinC=0的位置关系是( )
A.平行B.重合
C.垂直D.相交但不垂直
a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,
则直线sinA·
x-ay-c=0的斜率为,
bx+sinB·
y+sinC=0的斜率为,
∵=-1,
∴两条直线垂直.
9.3圆的方程
128
求圆的方程
14.(2015江西上饶二模,文14,求圆的方程,填空题)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆的方程为 .
抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),双曲线=1的两条渐近线方程为3x±
4y=0.
由题意,r==3,则所求圆的方程为(x-5)2+y2=9.
(x-5)2+y2=9
20.(2015甘肃兰州一中三模,文20,求圆的方程,解答题)已知☉C过点P(1,1),且与☉M:
(x+2)2+(y+2)2=r2(r>
0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求☉C的方程.
(2)过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?
请说明理由.
(1)解:
设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)解:
由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:
y-1=k(x-1),PB:
y-1=-k(x-1),且k≠0,
由得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=,
同理,xB=,
∴kAB=
==1=kOP,
∴直线AB和OP一定平行.
20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题)过抛物线C:
x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>
0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.
(2)设=λ,证明:
⊥(-λ).
由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4),
则AB的中点为,斜率为k=,
故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.
由x2=4y得y=x2,y'
=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.
设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则
解得a=-,b=,r2=.
所以圆M的方程为.
(2)证明:
设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.
由=λ,得λ=-,又点Q(0,-m),从而=(0,2m),
-λ=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
所以·
(-λ)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]
=2m(x1+x2)·
=0,
所以⊥(-λ).
129
与圆有关的轨迹问题
6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若△PAB是圆C:
(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,∠APB=120°
则线段AB的中点的轨迹方程为( )