届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值精选教案理Word文件下载.docx

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x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是__增函数__.

（2）如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）>

f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是__减函数__.

2．单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）__单调性__，区间D叫做y＝f（x）的__单调区间__.

3．函数的最大值与最小值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有__f（x）≤M__；

存在x0∈I，使得__f（x0）＝M__，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值．

（2）对于任意的x∈I，都有__f（x）≥M__；

存在x0∈I，使得__f（x0）＝M__，那么我们称M是函数y＝f（x）的最小值．

4．函数单调性的常用结论

区间D上单调递增

区间D上单调递减

定义法

x1<

x2⇔f（x1）<

f（x2）

x2⇔f（x1）>

图象法

函数图象是上升的

函数图象是下降的

导数法

导数大于零

导数小于零

运算法

递增＋递增＝递增

递减＋递减＝递减

复合法

内外层单调性相同

内外层单调性相反

5．对勾函数的单调性

对勾函数y＝x＋（a>

0）的递增区间为（－∞，－]和[，＋∞）；

递减区间为[－，0）和（0，]，且对勾函数为奇函数．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×

”）．

（1）函数y＝的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　×

　）

（2）函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间为[a，b]．（　×

（3）若f（x）是增函数，g（x）是增函数，则f（x）·

g（x）也是增函数．（　×

（4）已知函数y＝f（x）在R上是增函数，则函数y＝f（－x）在R上是减函数．（　√　）

解析　

（1）错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．

（2）错误．f（x）在区间[a，b]上是递增的并不能排除f（x）在其他区间上单调递增，而f（x）的单调递增区间为[a，b]意味着f（x）在其他区间上不可能是递增的．

（3）错误．举反例：

设f（x）＝x，g（x）＝x－2都是定义域R上的增函数，但是f（x）·

g（x）＝x2－2x在R上不是增函数．

（4）正确．易知函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确．

2．（2016·

北京卷）下列函数中，在区间（－1,1）上为减函数的是（　D　）

A．y＝　　　B．y＝cosx

C．y＝ln（x＋1）　　　D．y＝2－x

解析　A项中，y＝＝的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在（－1,1）上为增函数，不符合题意；

B项中，y＝cosx在（－1,0）上为增函数，在（0,1）上为减函数，不符合题意；

C项中，y＝ln（x＋1）的图象是将y＝lnx的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln（x＋1）在（－1,1）上为增函数，不符合题意；

D项符合题意．

3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　C　）

A．2　　　B．－2　　　　

C．2或－2　　　D．0

解析　当a>

0时，由题意得2a＋1－（a＋1）＝2，则a＝2；

当a<

0时，a＋1－（2a＋1）＝2，即a＝－2，所以a＝±

2，故选C．

4．函数f（x）＝（x2－4）的单调递增区间为__（－∞，－2）__.

解析　函数y＝f（x）的定义域为（－∞，－2）∪（2，＋∞），因为函数y＝f（x）由y＝t与t＝g（x）＝x2－4复合而成，又y＝t在（0，＋∞）上单调递减，g（x）在（－∞，－2）上单调递减，所以函数y＝f（x）在（－∞，－2）上单调递增．

5．设a为常数，函数f（x）＝x2－4x＋3.若f（x＋a）在[0，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是__[2，＋∞）__.

解析　∵f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴f（x＋a）＝（x＋a－2）2－1，且当x∈[2－a，＋∞）时，函数f（x＋a）单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.

一　判断（或证明）函数的单调性

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

（1）可以结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）求解．

（2）可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．

【例1】

（1）判断函数y＝在（－1，＋∞）上的单调性．

（2）判断并证明函数f（x）＝（其中a>

0）在x∈（－1,1）上的单调性．

解析　

（1）任取x1，x2∈（－1，＋∞），且x1<

x2，

则y1－y2＝－＝.

∵x1>

－1，x2>

－1，∴x1＋1>

0，x2＋1>

0，

又x1<

x2，∴x2－x1>

0，∴>

0，即y1－y2>

0.

∴y1>

y2，∴函数y＝在（－1，＋∞）上是减函数．

（2）f′（x）＝＝.

又a>

0，所以f′（x）<

0，∴函数f（x）在（－1,1）上为减函数．

二　求函数的单调区间

求函数单调区间的常用方法

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（4）导数法：

利用导数值的正负确定函数的单调区间．

注意：

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．

【例2】求下列函数的单调区间．

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）y＝（x2－3x＋2）．

解析　

（1）由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，则单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

（2）令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>

0，则x<

1或x>

2.

∴函数y＝（x2－3x＋2）的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）．

又u＝x2－3x＋2的对称轴为x＝，且开口向上，

∴u＝x2－3x＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数．而y＝u在（0，＋∞）上是单调减函数，

∴y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间为（2，＋∞），单调递增区间为（－∞，1）．

三　求函数的值域（最值）

求函数值域（最值）的常用方法

（1）分离常数法．形如y＝（ac≠0）的函数的值域经常使用“分离常数法”求解．

（2）配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F（x）＝a（f（x））2＋bf（x）＋c（a≠0）的函数的值域问题，均可使用配方法．

（3）换元法．①代数换元，形如y＝ax＋b±

（a，b，c，d为常数，ac≠0）的函数，可设＝t（t≥0），转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．

另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域（最值）．

【例3】求下列函数的值域．

（1）y＝，x∈[－3，－1]；

（2）y＝2x＋；

（3）y＝x＋4＋；

（4）y＝＋.

解析　

（1）（有界性法）由y＝，

得x＝.

∵－3≤x≤－1，∴－3≤≤－1，

解得≤y≤3，∴函数的值域为.

（2）（代数换元法）令t＝（t≥0），则x＝，

∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋.∴当t＝，即x＝时，

y取最大值，ymax＝，且y无最小值，∴函数的值域为.

（3）（三角换元法）令x＝3cosθ，θ∈[0，π]，则

y＝3cosθ＋4＋3sinθ＝3sin＋4.

∵0≤θ≤π，∴≤θ＋≤，∴－≤sin≤1．

∴1≤y≤3＋4，∴函数的值域为[1,3＋4]．

（4）（数形结合法）如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P（x,0）到点A（－3,4）和点B（5,2）的距离之和．由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′（5，－2），连接AB′交x轴于点P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞）．

四　函数单调性的应用

（1）含“f”不等式的解法：

首先根据函数的性质把不等式转化为f（g（x））>

f（h（x））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g（x）与h（x）的取值应在外层函数的定义域内．

（2）比较函数值大小的思路：

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

（3）求参数的值或取值范围的思路：

根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解．

【例4】

（1）（2017·

全国卷Ⅰ）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数，若f

（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　D　）

A．[－2,2]　　　B．[－1,1]

C．[0,4]　　　D．[1,3]

（2）如果函数f（x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（　D　）

A．　　　B．

C．　　　D．

（3）若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则实数a的取值范围是（　B　）

A．（0,1）　　　B．（1,3）　　　　

C．（1,3]　　　D．[3，＋∞）

解析　

（1）∵函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且f

（1）＝－1，

∴f（－1）＝－f

（1），由－1≤f（x－2）≤1，得－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3，故选D．

（2）当a＝0时，f（x）＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，

故在（－∞，4）上单调递增；

当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－，因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，所以a<

0，且－≥4，得－≤a<

综上所述，得－≤a≤0.故选D．

（3）因为函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则有a>

1且6－2a>

0，解得1<

a<

3，故选B．

1．已知偶函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递减，则满足f（2x－1）<

f的x的取值范围是（　A　）

A．　　　B．　　　　

解析　由函数f（x）为偶函数且在区间（－∞，0]上单调递减，得函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，于是将不等式f（2x－1）<

f转化为f（|2x－1|）<

f.根据单调性，知