精品指数函数讲义经典整理含答案Word格式.docx

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①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的根底，应引起重视

③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值

④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数

⑤画指数函数的图像，应抓住三个关键点：

二、同步题型分析

题型1：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

例1：

已知函数，且．

（1）求m的值；

（2）判定f（x）的奇偶性；

（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域；

函数单调性的判断与证明．

专题：

计算题．

分析：

（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；

（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；

（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．

解答：

解：

（1）因为，所以，所以m=1．

（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，

所以f（x）是奇函数．

（3）任取x1＞x2＞0，则，

因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

点评：

本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于根底题．

例2：

已知函数，

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）证明：

f（x）＞0．

函数奇偶性的判断；

函数奇偶性的性质．

（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．

（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．

（1）该函数为偶函数．

由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）

f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x

=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）

故该函数为偶函数．…（7分）

任取x∈{x|x≠0}

当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，

∴2x﹣1＞0，

故

从而…（11分）

当x＜0时，﹣x＞0，

∴f（﹣x）＞0，…（12分）

又因为函数为偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）

∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）

本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．

例3：

已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．

（1）求a的值；

（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；

（3）求的值．

指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

综合题；

函数的性质及应用．

（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；

（2）写出f（x），代入运算可得；

（3）借助

（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；

（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，

∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；

（2）由

（1）知，

∴=

===1；

（3）由

（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得

n为奇数时，=×

1=；

n为偶数时，=+f（）==；

综上，=．

本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．

题型2：

指数函数的图像变换．

已知函数y=|2x﹣2|

（1）作出其图象；

（2）由图象指出函数的单调区间；

（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．

（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．

（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．

（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．

（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：

（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．

本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

题型3：

指数函数单调性

已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0

（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；

（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

指数函数的单调性与特殊点；

函数单调性的判断与证明；

函数单调性的性质．

（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；

（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；

（1）当a＞0，b＞0时，

任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），

∵＜，＜，a＞0，b＞0，

∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

故函数f（x）在R上是增函数；

当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；

（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），

则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），

若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；

若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；

故b＞0时，x的范围是x＞1；

当b＜0时，x的范围是x＜1．

本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．

已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．

（1）试求f（x）的表达式；

（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；

（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．

指数函数综合题；

奇偶性与单调性的综合．

计算题；

（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；

从而写出f（x）的表达式；

（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；

（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．

（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，

∴f（0）=0，

设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则

f（x）=﹣f（﹣x）

=﹣（2x+2﹣x），

故f（x）=；

（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）

=，

∵x1＜x2＜0，

∴﹣＜0，0＜＜1，

故f（x1）﹣f（x2）＞0，

故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；

（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为

t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，

化简可得，t＞﹣，

令g（x）=﹣=﹣1+，

∵x∈（0，1），

∴g（x）＜﹣1+=0，

故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为

t≥0．

本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．

已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．

（1）证明：

函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；

（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n的取值范围．

指数函数综合题．

证明题．

（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：

取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；

（2）由

（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．

任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，

∴，∴f（x1）＜f（x2）．

所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）

函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）

（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）

易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）

故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），

当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．

因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）

本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：

取值，作差，变形，定号，下结论

三、课堂达标检测

检测题1：

已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断奇偶性并证明之；

（3）判断单调性并证明之．

函数奇偶性的判断．

（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行