精品指数函数讲义经典整理含答案Word格式.docx

1、 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的根底，应引起重视 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 等函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并给予证明考点：指数函数的定义、解析式

2、、定义域和值域；函数单调性的判断与证明专题：计算题分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x0，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可任取0x1x2，只要证明f（x1）f（x2），即可解答：解：（1）因为，所以，所以m=1（2）因为f（x）的定义域为x|x0，又，所以f（x）是奇函数（3）任取x1x20，则，因为x1x20，所以，所以f（x1）f（x2），所以f（x）在（0，+）上为单调增函数点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解

3、法在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于根底题例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）0函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质（1）由2x10解得义域为x|x0，关于原点对称f（x）=（）（x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数 （2）任取xx|x0，当x0时，2x20=1且x0，故，从而当x0时，x0，故f（x）0，由函数为偶函数，能证明f（x）0在定义域上恒成立（1）该函数为偶函数由2x10解得x0即义域为x|x0关于原点对称（2分）f（x）=（）（x）=（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数 （7分）任取xx|x0当x0时

4、，2x20=1且x0，2x10，故从而（11分）当x0时，x0，f（x）0，（12分）又因为函数为偶函数，f（x）=f（x）0，（13分）f（x）0在定义域上恒成立（14分）本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）0解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用例3：已知函数y=ax（a0且a1）在1，2上的最大值与最小值之和为20，记（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1x）的值；（3）求的值指数函数的定义、解析式、定义域和值域综合题；函数的性质及应用（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；（1）函数

5、y=ax（a0且a1）在1，2上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，a+a2=20，得a=4，或a=5（舍去）；（2）由（1）知，=1；（3）由（2）知f（x）+f（1x）=1，得n为奇数时，=1=；n为偶数时，=+f（）=；综上，=本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题题型2：指数函数的图像变换已知函数y=|2x2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值（1）函数y=|2x2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间（3）数形结合可

6、得，当x=1时，ymiin=0（1）函数y=|2x2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（，1，增区间为（1，+）本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题题型3：指数函数单调性已知函数f（x）=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0（1）若ab0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=3b，求f（x+1）f（x）时的x的取值范围指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质（1）分a0，b0和a0，b0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（

7、2）当a=3b时，f（x）=3b2x+b3x=b（3x32x），分b0，b0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；（1）当a0，b0时，任意x1，x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2）=a（）+b（），a0，b0，a（）0，b（）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a0，b0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=3b时，f（x）=3b2x+b3x=b（3x32x），则f（x+1）f（x）即化为b（3x+132x+1）b（3x32x），若b0，则有3x+132x+13x32x，整理得，解得x1；若b0，则有3x+132

8、x+13x32x，整理得，解得x1；故b0时，x的范围是x1；当b0时，x的范围是x1本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题已知定义在（1，1）上的奇函数f（x）在x（1，0）时，f（x）=2x+2x（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（1，0）上是减函数；（3）若对于x（0，1）上的每一个值，不等式t2xf（x）4x1恒成立，求实数t的取值范围指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合计算题；（1）由f（x）是定义在（1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x（0，1）时，f（x）=f（x）=（2x+2x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，

9、作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x（0，1）上的每一个值，不等式t2xf（x）4x1恒成立转化为对于x（0，1）上的每一个值，不等式t恒成立，从而可得（1）f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，f（0）=0，设（0，1），则x（1，0），则f（x）=f（x）=（2x+2x），故f（x）=；（2）任取x1，x2（1，0），且x1x2，则f（x1）f（x2）=+（+）=，x1x20，0，01，故f（x1）f（x2）0，故f（x）在（1，0）上是减函数；（3）由题意，t2xf（x）4x1可化为t2x（2x+2x）4x1，化简可得，t，令g（x）=1+，x（0，1），g（x）1+=0，故对于x

10、（0，1）上的每一个值，不等式t2xf（x）4x1恒成立可化为t0本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题已知函数f（x）=|2x11|，（xR）（1）证明：函数f（x）在区间（1，+）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中mn，求m+n的取值范围指数函数综合题证明题（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=

11、t有两个不同的交点，故有t（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由mn，得m1n，故可以求出m+n，进而由t（0，1），可求m+n的取值范围任取x1（1，+），x2（1，+），且x1x2，=，x1x2，f（x1）f（x2）所以f（x）在区间（1，+）上为增函数（5分）函数f（x）在区间（，1）上为减函数（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+）上为增函数，相应的函数值为（0，+），在区间（，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t（0，1），（8分）易

12、知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由mn，得m1n，故2m110，2n110，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x11|，故得t=12m1，t=2n11，即m=log2（22t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（22t）+log2（2+2t）=log2（44t2），当0t1时，044t24，log2（44t2）2因此，m+n的取值范围为（，2）（17分）本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828是一个无理数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之函数奇偶性的判断（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行