1、 分数指数幂与根式或以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位,是研究方程、不等式和函数的根底,应引起重视 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程或方程组来求值 在理解指数函数的概念时,应抓住定义的“形式”,像 等函数均不符合形式,因此,它们都不是指数函数 画指数函数的图像,应抓住三个关键点:二、同步题型分析题型1:指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1:已知函数,且(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+)上的单调性,并给予证明考点:指数函数的定义、解析式
2、、定义域和值域;函数单调性的判断与证明专题:计算题分析:(1)欲求m的值,只须根据f(4)=的值,当x=4时代入f(x)解一个指数方程即可;(2)求出函数的定义域x|x0,利用奇偶性的定义判断f(x)与f(x)的关系,即可得到答案;(3)利用单调性的定义证明即可任取0x1x2,只要证明f(x1)f(x2),即可解答:解:(1)因为,所以,所以m=1(2)因为f(x)的定义域为x|x0,又,所以f(x)是奇函数(3)任取x1x20,则,因为x1x20,所以,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+)上为单调增函数点评:本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断,与证明及指数方程的解
3、法在判定函数奇偶性时,一定注意函数的定义域关于原点对称,属于根底题例2:已知函数,(1)讨论函数的奇偶性;(2)证明:f(x)0函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质(1)由2x10解得义域为x|x0,关于原点对称f(x)=()(x)=()x=f(x),故该函数为偶函数 (2)任取xx|x0,当x0时,2x20=1且x0,故,从而当x0时,x0,故f(x)0,由函数为偶函数,能证明f(x)0在定义域上恒成立(1)该函数为偶函数由2x10解得x0即义域为x|x0关于原点对称(2分)f(x)=()(x)=(+)x=()x=()x=()x=f(x)(6分)故该函数为偶函数 (7分)任取xx|x0当x0时
4、,2x20=1且x0,2x10,故从而(11分)当x0时,x0,f(x)0,(12分)又因为函数为偶函数,f(x)=f(x)0,(13分)f(x)0在定义域上恒成立(14分)本题考查函数的奇偶性的判断和证明f(x)0解题时要认真审题,注意指数函数性质的灵活运用例3:已知函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为20,记(1)求a的值;(2)求f(x)+f(1x)的值;(3)求的值指数函数的定义、解析式、定义域和值域综合题;函数的性质及应用(1)由y=ax单调得a+a2=20,由此可求a;(2)写出f(x),代入运算可得;(3)借助(2)问结论分n为奇数、偶数讨论可求;(1)函数
5、y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为20,且y=ax单调,a+a2=20,得a=4,或a=5(舍去);(2)由(1)知,=1;(3)由(2)知f(x)+f(1x)=1,得n为奇数时,=1=;n为偶数时,=+f()=;综上,=本题考查指数函数的单调性、最值等知识,属中档题题型2:指数函数的图像变换已知函数y=|2x2|(1)作出其图象;(2)由图象指出函数的单调区间;(3)由图象指出当x取何值时,函数有最值,并求出最值(1)函数y=|2x2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位,再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到(2)结合函数的图象,可得函数的减区间和增区间(3)数形结合可
6、得,当x=1时,ymiin=0(1)函数y=|2x2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位,再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到,如图所示:(2)结合函数的图象,可得函数的减区间为(,1,增区间为(1,+)本题主要考查指数函数的图象和性质综合,体现了数形结合的数学思想,属于中档题题型3:指数函数单调性已知函数f(x)=a2x+b3x,其中常数a,b满足ab0(1)若ab0,判断函数f(x)的单调性;(2)若a=3b,求f(x+1)f(x)时的x的取值范围指数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质(1)分a0,b0和a0,b0两种情况讨论,运用单调性的定义可作出判断;(
7、2)当a=3b时,f(x)=3b2x+b3x=b(3x32x),分b0,b0两种情况进行讨论,整理可得指数不等式解出即可;(1)当a0,b0时,任意x1,x2R,且x1x2,则f(x1)f(x2)=a()+b(),a0,b0,a()0,b()0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)在R上是增函数;当a0,b0时,同理,可判断函数f(x)在R上是减函数;(2)当a=3b时,f(x)=3b2x+b3x=b(3x32x),则f(x+1)f(x)即化为b(3x+132x+1)b(3x32x),若b0,则有3x+132x+13x32x,整理得,解得x1;若b0,则有3x+132
8、x+13x32x,整理得,解得x1;故b0时,x的范围是x1;当b0时,x的范围是x1本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用,考查分类讨论思想,属基础题已知定义在(1,1)上的奇函数f(x)在x(1,0)时,f(x)=2x+2x(1)试求f(x)的表达式;(2)用定义证明f(x)在(1,0)上是减函数;(3)若对于x(0,1)上的每一个值,不等式t2xf(x)4x1恒成立,求实数t的取值范围指数函数综合题;奇偶性与单调性的综合计算题;(1)由f(x)是定义在(1,1)上的奇函数可得f(0)=0,x(0,1)时,f(x)=f(x)=(2x+2x);从而写出f(x)的表达式;(2)取值,
9、作差,化简,判号,下结论五步;(3)对于x(0,1)上的每一个值,不等式t2xf(x)4x1恒成立转化为对于x(0,1)上的每一个值,不等式t恒成立,从而可得(1)f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,f(0)=0,设(0,1),则x(1,0),则f(x)=f(x)=(2x+2x),故f(x)=;(2)任取x1,x2(1,0),且x1x2,则f(x1)f(x2)=+(+)=,x1x20,0,01,故f(x1)f(x2)0,故f(x)在(1,0)上是减函数;(3)由题意,t2xf(x)4x1可化为t2x(2x+2x)4x1,化简可得,t,令g(x)=1+,x(0,1),g(x)1+=0,故对于x
10、(0,1)上的每一个值,不等式t2xf(x)4x1恒成立可化为t0本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法,属于难题已知函数f(x)=|2x11|,(xR)(1)证明:函数f(x)在区间(1,+)上为增函数,并指出函数f(x)在区间(,1)上的单调性;(2)若函数f(x)的图象与直线y=t有两个不同的交点A(m,t),B(n,t),其中mn,求m+n的取值范围指数函数综合题证明题(1)函数单调性的证明,通常依据定义,步骤为:取值,作差,变形,定号,下结论,由于与指数函数有关,求解时要利用到指数函数的单调性;(2)由(1)可知,函数的值域为(0,1),要使函数f(x)的图象与直线y=
11、t有两个不同的交点,故有t(0,1)又函数f(x)的图象与直线y=t有两个不同的交点,所以A(m,t),B(n,t)分别位于直线x=1的两侧,由mn,得m1n,故可以求出m+n,进而由t(0,1),可求m+n的取值范围任取x1(1,+),x2(1,+),且x1x2,=,x1x2,f(x1)f(x2)所以f(x)在区间(1,+)上为增函数(5分)函数f(x)在区间(,1)上为减函数(6分)(2)因为函数f(x)在区间(1,+)上为增函数,相应的函数值为(0,+),在区间(,1)上为减函数,相应的函数值为(0,1),由题意函数f(x)的图象与直线y=t有两个不同的交点,故有t(0,1),(8分)易
12、知A(m,t),B(n,t)分别位于直线x=1的两侧,由mn,得m1n,故2m110,2n110,又A,B两点的坐标满足方程t=|2x11|,故得t=12m1,t=2n11,即m=log2(22t),n=log2(2+2t),(12分)故m+n=log2(22t)+log2(2+2t)=log2(44t2),当0t1时,044t24,log2(44t2)2因此,m+n的取值范围为(,2)(17分)本题的考点是指数函数综合问题,主要考查函数单调性的证明,考查函数图形的性质,有较强的综合性依据定义,证明函数的单调性的步骤通常为:取值,作差,变形,定号,下结论三、课堂达标检测检测题1:已知函数f(x)=(其中e=2.71828是一个无理数)(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断奇偶性并证明之;(3)判断单调性并证明之函数奇偶性的判断(1)把分子整理变化成和分母相同的一部分,进行
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