全国初中数学联赛试题及答案Word格式文档下载.docx

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注：

本题也可用特殊值法来判断.

2．当

分别取值

，

，…，

时，计算代数式

的值，将所得的结果相加，其和等于（）

（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.

【答】C.

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）

解因为

，即当

为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；

而当

时，

.因此，当

解锐角△

的垂心在三角形内部，如图，设△

的外心为

为

的中点，

的延长线交⊙

于点

，连

、

//

，所以∠

＝30°

，∠

＝60°

＝∠

.故选（C）.

5．设

是△

内任意一点，△

、△

的重心分别为

（A）

.（B）

【答】A.

解分别延长

，与△

的三边

交于点

，由于

分别为△

的重心，易知

分别为

的中点，所以

易证△

∽△

，且相似比为

所以

.故选（A）.

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）

解设摸出的15个球中有

个红球、

个黑球、

个白球，则

都是正整数，且

.因为

可取值2，3，4，5.

当

时，只有一种可能，即

；

，有2种可能，

或

，有3种可能，

，有4种可能，

因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为

.故选（B）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.设

是

的小数部分，

的小数部分，则

____1___.

解∵

，而

，∴

又∵

.∴

∴

2.对于一切不小于2的自然数

，关于

的一元二次方程

的两个根记作

（

），则

=

解由根与系数的关系得

则

，

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）

＝

3.已知直角梯形

的四条边长分别为

，过

两点作圆,与

的延长线交于点

，与

的值为____4_____.

解延长

交⊙

，设

的中点分别为点

，则易知

，由割线定理，易证

4．若

和

均为四位数，且均为完全平方数，则整数

的值是___17____.

解设

，两式相减得

，因为101是质数，且

，故

.代入

，整理得

，解得

，或

（舍去）.

第二试（A）

一、（本题满分20分）设

为正整数，且

，如果对一切实数

，二次函数

的图象与

轴的两个交点间的距离不小于

，求

的值.

解因为一元二次方程

的两根分别为

，所以二次函数

轴的两个交点间的距离为

由题意，

，即

由题意知，

，且上式对一切实数

恒成立，所以

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）

二、（本题满分25分）如图，四边形

是梯形，点

是上底边

上一点，

的延长线与

，过点

作

的平行线交

的延长线于点

与

.证明：

∠

=∠

证明设

，∵

∴△

.

，∴△

故

又∠

，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC

∴∠ANF＝∠EDM.

又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.

∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.

三、（本题满分25分）已知

是正整数，如果关于

的方程

的根都是整数，求

的值及方程的整数根.

解观察易知，方程有一个整数根

，将方程的左边分解因式，得

因为

是正整数，所以关于

（1）

的判别式

，它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数，所以方程

（1）的根都是整数，因此它的判别式

应该是一个完全平方数.

设

（其中

为非负整数），则

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）

显然

的奇偶性相同，且

解得

而

是正整数，所以只可能

时，方程

（1）即

，它的两根分别为

.此时原方程的三个根为1，

第二试（B）

一、（本题满分20分）设

.如果

对一切实数

恒成立，求

一元二次方程

所以，

，且

（1）式对一切实数

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）

三、（本题满分25分）设

是正整数，二次函数

，反比例函数

，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求

解联立方程组

消去

，分解因式得

是方程

（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.

（2）

而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程

（2）的根都是整数，因此它的判别式

时，方程

（2）即

，此时两个函数的图象还有两个交点

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共8页）

第二试（C）

一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

是正整数，如果二次函数

和反比例函数

的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求

的值和对应的公共整点.

如果两个函数的图象有公共整点，则方程

（1）必有整数根，从而关于

必有整数根，所以一元二次方程

（2）的判别式

应该是一个完全平方数，

应该是一个完全平方数，设

，它的两根分别为2和

，易求得两个函数的图象有公共整点

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第8页（共8页）

，它的两根分别为1和