高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第5讲数学归纳法讲义Word下载.docx
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选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C.
用数学归纳法证明：
首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋
d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋（k－1）d B.
C．ka1＋
dD．（k＋1）a1＋
d
选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋
d.
在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
n（n－3）条时，第一步检验n等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
选C.三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）（2n＋1）时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．
当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋（2k＋1），当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋（2k＋1）＋（2k＋2）＋（2k＋3），所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是（2k＋2）＋（2k＋3）．
（2k＋2）＋（2k＋3）
用数学归纳法证明等式（师生共研）
＋
＋…＋
＝
（n∈N*）．
【证明】
（1）当n＝1时，左边＝
，
右边＝
.左边＝右边，所以等式成立．
（2）假设n＝k（k∈N*且k≥1）时等式成立，即有
则当n＝k＋1时，
.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由
（1）、
（2）可知，对于一切n∈N*等式都成立．
用数学归纳法证明等式的注意点
（1）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
（2）由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；
二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
（3）不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
求证：
（n＋1）（n＋2）·
…·
（n＋n）＝2n·
1·
3·
5·
（2n－1）（n∈N*）．
证明：
（1）当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立，
即（k＋1）（k＋2）·
（k＋k）
＝2k·
（2k－1）．
当n＝k＋1时，
左边＝（k＋1＋1）（k＋1＋2）·
（k＋1＋k＋1）
＝（k＋2）（k＋3）·
（k＋k）（2k＋1）（2k＋2）
（2k－1）（2k＋1）·
2
＝2k＋1·
（2k－1）（2k＋1）．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由
（1）
（2）可知，对所有n∈N*等式成立．
用数学归纳法证明不等式（典例迁移）
已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a
＋an＋1－1＝a
，求证：
当n∈N*时，an<
an＋1.
【证明】
（1）当n＝1时，因为a2是方程a
＋a2－1＝0的正根，所以a2＝
，即a1<
a2成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，0≤ak<
ak＋1，
所以a
－a
＝（a
＋ak＋2－1）－（a
＋ak＋1－1）＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）>
0，
又ak＋1>
ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>
所以ak＋1<
ak＋2，即当n＝k＋1时，an<
an＋1也成立．
综上，可知an<
an＋1对任何n∈N*都成立．
[迁移探究] （变条件）在本例中把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an<
－1”，其余条件不变，求证：
当n∈N*时，an＋1<
an.
（1）当n＝1时，因为a2是a
＋a2－1＝0的负根，所以a2＝
，即a1>
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，ak＋1<
ak，
因为a
＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1），ak＋1<
ak<
－1，
>
又ak＋2＋ak＋1＋1<
（－1）＋（－1）＋1＝－1，
所以ak＋2－ak＋1<
0，所以ak＋2<
即当n＝k＋1时，命题成立．
由
（1）
（2）可知，对任意n∈N*，an＋1<
an.
用数学归纳法证明不等式的注意点
（1）当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．
已知f（n）＝1＋
，g（n）＝
－
，n∈N*.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．
解：
（1）当n＝1时，f
（1）＝1，g
（1）＝1，
所以f
（1）＝g
（1）；
当n＝2时，f
（2）＝
，g
（2）＝
所以f
（2）＜g
（2）；
当n＝3时，f（3）＝
，g（3）＝
所以f（3）＜g（3）．
（2）由
（1）猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立，
②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时不等式成立，即1＋
＜
那么，当n＝k＋1时，f（k＋1）＝f（k）＋
因为
＜0，
所以f（k＋1）＜
＝g（k＋1）．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．
归纳—猜想—证明（师生共研）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝
－1，且an>
0，n∈N*.
（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
（2）证明通项公式的正确性．
【解】
（1）当n＝1时，由已知得a1＝
即a
＋2a1－2＝0，
解得a1＝
－1（a1>
0）．
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝
－1，将a1＝
－1代入并整理得a
＋2
a2－2＝0，解得a2＝
（a2>
同理可得a3＝
猜想an＝
（2）证明：
①由
（1）知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．
②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时，通项公式成立，即ak＝
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝
，将ak＝
代入上式，整理得a
·
ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝
即n＝k＋1时通项公式仍成立．
由①②可知对所有n∈N*，an＝
都成立．
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
（1）计算：
根据条件，计算若干项．
（2）归纳猜想：
通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．
（3）证明：
用数学归纳法证明．
已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
（1）将n＝1，2，3分别代入可得a1＝
，a2＝
，a3＝
，猜想an＝2－
①由
（1）得n＝1时，结论成立．
②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即ak＝2－
那么当n＝k＋1时，
a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1，
且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2（k＋1）＋1＝2k＋3，
所以2ak＋1＝2＋2－
，ak＋1＝2－
即当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②得，对一切n∈N*，an＝2－
[基础题组练]
1．用数学归纳法证明“2n>
n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A．2 B．3
C．5D．6
选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，
当n＝2时，22＝4<
22＋1＝5，
当n＝3时，23＝8<
32＋1＝10，
当n＝4时，24＝16<
42＋1＝17，
当n＝5时，25＝32>
52＋1＝26，
当n＝6时，26＝64>
62＋1＝37，故起始值n0应取5.
2．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：
当f（k）≥k＋1成立时，总能推出f（k＋1）≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是（ ）
A．若f
（1）<
2成立，则f（10）<
11成立
B．若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k＋1成立
C．若f
（2）<
3成立，则f
（1）≥2成立
D．若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立
选D.当f（k）≥k＋1成立时，总能推出f（k＋1）≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f（n）≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f（n＋1）≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f（4）≥5成立，那么当k≥4时，f（k）≥k＋1也成立．
3．用数学归纳法证明1－
，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A.
B．－
C.
D.
选C.因为当n＝k时，左端＝1－
，当n＝k＋1时，
左端＝1－
.所以，左端应在n＝k的基础上加上
4．已知f（n）＝12＋22＋32＋…＋（2n）2，则f（k＋1）与f（k）的关系是（ ）
A．f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2
B．f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）2
C．f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋2）2
D．f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1）2
选A.f（k＋1）＝12＋22＋32＋…＋（2k）2＋（2k＋1）2＋[2（k＋1）]2＝f（k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2.
5．利用数学归纳法证明不等式1＋
<
f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A．1项B．k项
C．2k－1项
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