B=▲．
【答案】{0，1}
2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为▲．
【答案】±5
3．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．
【答案】5
6
4．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．
【答案】14
5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：
元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下．
【答案】750
频率组距
0.0005
S←0
I←1
WhileS≤10
S←S+I2
I←I+1EndWhilePrintS
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.00005
（第4题）
O50010001500200025003000350040004500
（第5题）
消费/元
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6的值为▲．
【答案】63
x2y2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1（a>0，b>0）过点P（1，1），其一条渐近线方
a2b2
程为y=
2x，则该双曲线的方程为▲．
【答案】2x2-y2=1
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1-ADE的体积为
▲．
【答案】1
12
⎧x（x-b），x≥0
9．若函数f（x）=⎨
⎩ax（x+2），x＜0
（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为▲．
【答案】-1
10．已知sin（x+π）=1，则sin（x-5π）+sin2（π-x）的值为▲．
6363
【答案】5
9
11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x-y+m=0上存在点P使得
PA=1
2
PB，则实数m的取值范围是▲．
【答案】[-22，22]
uuuruuur
uuuruuur
uuuruuur
12．已知边长为6的正三角形ABC，BD=1BC，AE=1AC，AD与BE交于点P，则PB⋅PD的
23
值为▲．
【答案】27
4
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2（x>0）和y=x3（x>0）均相切，切点分别为
1
x
A（x1，y1）和B（x2，y2），则
x2
【答案】4
3
的值为▲．
14．已知函数f（x）=2ax2+3b
（a，b∈R）．若对于任意x∈[-1，1]，都有
f（x）≤1成立，则ab的最大
值是▲．
【答案】1
24
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b-c）（a+b+c）＝ab．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．
【解】
（1）在△ABC中，由（a+b－c）（a+b+c）＝ab，得
a2+b2-c211
=-，即cosC＝-．………3分
2ab22
因为0＜C＜π，所以C＝2π．……………………………………………………………6分
3
（2）（法一）因为c＝2acosB，由正弦定理，得
sinC＝2sinAcosB，…………………………………………………………………………8分因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin（A+B），
所以sin（A+B）＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0，………10分
又－π＜A－B＜π，
33
所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2．………………………………………………12分
112π
所以△ABC的面积为S△ABC＝
absinC＝
×2×2×sin
＝3．………………………14分
223
a2+c2-b2
（法二）由c=2acosB及余弦定理，得c=2a⨯，…………………………8分
2ac
化简得a=b，………………………………………………………………………………12分
112π
所以，△ABC的面积为S△ABC＝
absinC＝
×2×2×sin
＝3．………………………14分
223
16．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．
求证：
（1）BE⊥AC；
（2）BE∥平面ACD1．
【证明】
（1）在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，
D1C1
E
A1B1
连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E．
DC
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．
F
因为ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，
AB
（第16题）
所以BB1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以，BB1⊥AC．………………………………………………………………………3分又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，
所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分
（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）
（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．
又E，F分别是B1D1，BD的中点，
所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．
所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，
所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分
17．（本小题满分14分）
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a>b>0）过点A（2，1），离心率为．
a2b22
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l:
y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且
AB⊥AC，求直线l的方程．
x2y2
【解】
（1）由条件知椭圆+=1（a>b>0）离心率为
a2b2
e=c=3，
a2
所以b2=a2-c2=1a2．
4
（第17题）
x2y2
又点A（2，1）在椭圆+=1（a>b>0）上，
a2b2
所以4+1=1，……………………………………………………………………………2分
a2b2
⎧⎪a2=8
解得⎨
⎪⎩b2=2
2
所以，所求椭圆的方程为x
y2
+=1．………………………………………………4分
82
（2）将y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，得x2+4（kx+m）2-8=0，
整理，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-8=0．①
由线段BC被y轴平分，得x+x=-8mk=0，
BC1+4k2
因为k≠0，所以m=0．…………………………………………………………………8分
因为当m=0时，B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（-x，-kx），
由方程①，得x2=8，
1+4k2
又因为AB⊥AC，A（2，1），
uuuruuur
8（1+k2）
所以AB⋅AC=（x-2）（-x-2）+（kx-1）（-kx-1）=5-（1+k2）x2=5-=0，
1+4k2
所以k
1．………………………………………………………………………………12分
=±
2
由于k=1时，直线y=1x过点A（2，1），故k=1不符合题设．
222
所以，此时直线l的方程为y
18．（本小题满分16分）
1x．…………………………………………………14分
=-
2
如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．
（2）请你选用
（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．
【解】
（1）①由题设知，在Rt△O1PT中，l
∠OPT=α，O1T=1，Q
1
所以O1P=
．
sinα
T
=1+1．
又OO1=1，所以OP
在Rt△OPQ中，
sinα
OO1AP
）
OQ=OPtanα=（1+1tanα=1+sinα．…3分
（第18题）
sinα
所以，Rt△OPQ的面积为
cosα
S=1OP⋅OQ
2
）
=1（1+11+sinα
2sinα
（1+sinα）2
=
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