南通市届高三第一次调研测试含答案.docx

1、南通市届高三第一次调研测试含答案南通市 2016 届高三第一次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合 A = x -1 x 0，b 0) 过点 P（1，1），其一条渐近线方a2 b2程为 y =2x ，则该双曲线的方程为 【答案】 2x2 - y2 = 18 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点 E 是棱 B1 B 的中点，则三棱锥 B1 - ADE 的体积为 【答案】 1 12x(x - b) ， x 09 若函数 f (x) = ax(x + 2) ，x0( a ，b

2、R )为奇函数，则 f (a + b) 的值为 【答案】 -110已知 sin( x + ) = 1 ，则 sin(x - 5) + sin2 ( - x) 的值为 6 3 6 3【答案】 5911在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0) ，B(4 ，0) 若直线 x - y + m = 0 上存在点 P 使得P A= 12P B，则实数 m 的取值范围是 【答案】-2 2 ，2 2uuur uuuruuur uuuruuur uuur12已知边长为 6 的正三角形 ABC ， BD = 1 BC ， AE = 1 AC ， AD 与 BE 交于点 P，则 PB PD 的2 3值为 【答

3、案】 27413在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与曲线 y = x2 (x 0) 和 y = x3 (x 0) 均相切，切点分别为1xA(x1，y1 ) 和 B(x2，y2 ) ，则x2【答案】 43的值为 14已知函数 f (x) = 2ax2+3b(a，b R) 若对于任意 x -1，1 ，都有f (x) 1成立，则 ab 的最大值是 【答案】 1 24二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， (a + b - c)

4、(a + b + c)ab （1）求角 C 的大小；（2）若 c=2a cosB ，b=2 ，求ABC 的面积【解】（1）在ABC 中，由(a+bc)(a+b+c)ab，得a2 + b2 - c2 1 1= - ，即 cosC - 3 分2ab 2 2因为 0C，所以 C 2 6 分3（2）（法一）因为 c2acosB，由正弦定理，得sinC2sinAcosB， 8 分 因为 A+B+C，所以 sinCsin(A+B)，所以 sin(A+B)2sinAcosB，即 sinAcos BcosAsinB0，即 sin(AB)0， 10 分又 AB ，3 3所以 AB0，即 AB，所以 ab212

5、分1 1 2所以ABC 的面积为 SABCabsinC22sin 3 14 分 2 2 3a2 + c2 - b2（法二）由 c = 2a cos B 及余弦定理，得 c = 2a ，8 分2ac化简得 a = b ，12 分 1 1 2所以，ABC 的面积为 SABCabsinC22sin 314 分 2 2 316(本小题满分 14 分) 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，点 E 是 A1C1 的中点求证：（1）BEAC；（2）BE平面 ACD1【证明】（1）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，D1 C1EA1 B1连结 BD 交 AC 于点 F

6、，连结 B1D1 交 A1C1 于点 ED C因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BDACF因为 ABCDA1B1C1D1 为直棱柱，A B（第 16 题）所以 BB1平面 ABCD，又 AC 平面 ABCD， 所以，BB1AC3 分 又 BDBB1B，BD 平面 B1BDD1，BB1 平面 B1BDD1，所以 AC平面 B1BDD1 5 分 而 BE 平面 B1BDD1，所以 BEAC 7 分 （通过证明等腰三角形 A1BC1，得 BEA1C1，再由 ACA1C1 得 BEAC，可得 7 分）（2）连结 D1F，因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1 为直棱柱， 所以四边形 B1BDD1 为矩

7、形又 E，F 分别是 B1D1，BD 的中点，所以 BFD1E，且 BFD1E9 分 所以四边形 BED1F 是平行四边形所以 BED1F11 分 又 D1F 平面 ACD1，BE 平面 ACD1，所以 BE平面 ACD1 14 分17(本小题满分 14 分)x2 y2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 + = 1 (a b 0) 过点 A(2，1)，离心率为 a2 b2 2（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l : y = kx + m(k 0) 与椭圆相交于 B，C 两点(异于点 A)，线段 BC 被 y 轴平分，且AB AC ，求直线 l 的方程x2 y2【解】（1）由条件知椭圆

8、 + = 1 (a b 0) 离心率为a2 b2e = c = 3 ，a 2所以 b2 = a2 - c2 = 1 a2 4（第 17 题）x2 y2又点 A(2，1)在椭圆 + = 1 (a b 0) 上，a2 b2所以 4 + 1 = 1 ，2 分a2 b2a2 = 8解得 b2 = 22所以，所求椭圆的方程为 xy2+ = 1 4 分8 2（2）将 y = kx + m(k 0) 代入椭圆方程，得 x2 + 4(kx + m)2 - 8 = 0 ， 整理，得 (1 + 4k2 )x2 + 8mkx + 4m2 - 8 = 0 由线段 BC 被 y 轴平分，得 x + x = - 8mk

9、= 0 ， B C 1 + 4k 2 因为 k 0 ，所以 m = 0 8 分 因为当 m = 0 时， B，C 关于原点对称，设 B(x，kx)，C(-x，- kx) ， 由方程，得 x2 = 8 ， 1 + 4k 2 又因为 AB AC ，A(2，1)， uuur uuur8(1 + k 2 ) 所以 AB AC = (x - 2)(-x - 2) + (kx -1)(-kx -1) = 5 - (1 + k 2 )x2 = 5 - = 0 ， 1 + 4k 2 所以 k1 12 分 = 2 由于 k = 1 时，直线 y = 1 x 过点 A(2，1)，故 k = 1 不符合题设 2 2

10、 2 所以，此时直线 l 的方程为 y18(本小题满分 16 分)1 x 14 分 =- 2如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以 O1 为圆心，半径为 1 km 的半圆面公 路 l 经过点 O，且与直径 OA 垂直现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ（点 P 在直径 OA 的 延长线上，点 Q 在公路 l 上），T 为切点（1）按下列要求建立函数关系：设OPQ= (rad)，将OPQ 的面积 S 表示为 的函数；设 OQ = t (km)，将OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求OPQ 的面积 S 的最小值【解】（1）由题设知，在 RtO1PT 中， lOPT= ，O1T=1， Q1所以 O1P=sin T= 1 +1 又 OO1=1，所以 OP在 RtOPQ 中，sin O O1 A P)OQ = OP tan = (1 + 1 tan = 1 + sin 3 分（第 18 题）sin所以，RtOPQ 的面积为cosS= 1 OP OQ2)= 1 (1 + 1 1 + sin 2 sin(1 + sin )2=