高中数学 必修二第二章 点直线平面之间的位置关系23233234Word文档格式.docx

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即时自测

1.判断题

（1）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.（√）

（2）垂直于同一平面的两个平面平行.（×

）

（3）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α.（√）

（4）如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.（×

提示　

（2）垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.

（4）直线与平面β位置关系不确定.

2.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（　　）

A.相交B.异面C.平行D.不确定

解析　因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.

答案　C

3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）

A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1

C.相交但不垂直D.相交且垂直

解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.

答案　D

4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________（填序号）.

①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

④若α∥b，β∥b，则α∥β.

解析　由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；

由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；

由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；

易知④假.

答案　①③

类型一　直线与平面垂直的性质及应用

【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.

求证：

EF∥BD1.

证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，

∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

规律方法　证明线线平行常有如下方法：

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点；

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线；

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行；

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直；

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行.

【训练1】如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：

a∥l.

证明　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.

类型二　平面与平面垂直的性质及应用

【例2】已知：

α、β、γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：

l⊥γ.

证明　法一　设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图.

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，

又∵α∩β＝l，

∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l⊥γ.

法二　如图，α∩γ＝a，

β∩γ＝b，在α内作m⊥a，

在β内作n⊥b.

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.

又∵n⊂β，m⊄β，∴m∥β，

又α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l，∴l⊥γ.

规律方法　1.证明或判定线面垂直的常用方法有：

（1）线面垂直的判定定理；

（2）面面垂直的性质定理；

（3）若a∥b，a⊥α则b⊥α；

（a，b为直线，α为平面）.

（4）若a⊥α，α∥β则a⊥β；

（a为直线，α，β为平面）.

2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线.

【训练2】设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系.

解　如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c.

根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β.

因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，

所以直线a与直线b重合，因此a⊂α.

类型三　线线、线面、面面垂直的综合应用（互动探究）

【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°

，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.

（1）若G为AD边的中点，求证：

BG⊥平面PAD；

（2）求证：

AD⊥PB.

[思路探究]

探究点一　运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？

提示　运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：

过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.

探究点二　线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？

提示　

证明　

（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°

，

∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.

（2）连接PG，如图，

∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

由

（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，

∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.

规律方法　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；

（3）直线必须垂直于它们的交线.

【训练3】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°

，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？

请证明你的结论.

解　PA与BD相互垂直.证明如下：

如图，取BC的中点O，连接PO、AO.

∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，

平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD.∴PO⊥BD，

在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，

∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°

∴∠BAO＋∠ABD＝90°

，∴AO⊥BD，

又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA与BD相互垂直.

[课堂小结]

1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.

2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

1.下列说法正确的是（　　）

A.垂直于同一条直线的两直线平行

B.垂直于同一条直线的两直线垂直

C.垂直于同一个平面的两直线平行

D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

解析　由线面垂直的性质定理知C正确.

2.设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么（　　）

A.a与b可能垂直，但不可能平行

B.a与b可能垂直，也可能平行

C.a与b不可能垂直，但可能平行

D.a与b不可能垂直，也不可能平行

解析　当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错，

如图，若a⊥b过a上一点P在α内作a′⊥l，

因为α⊥β，所以a′⊥β，

又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，

而l⊂α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错.

3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°

，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°

（即PA⊥AC），PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，∴PB＝

＝

.

答案　

4.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SCD⊥平面SBC.

证明　∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面SCD.又∵BC⊂平面SBC，

∴平面SCD⊥平面SBC

基础过关

1.下列命题中错误的是（　　）

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.

2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC

解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，

又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.

3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平