高考全国Ⅲ卷文数试题Word格式.docx
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解得，，故选C．
7.已知曲线在点处的切线方程为，则（）
求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
将代入得，故选D．
8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）
A.，且直线是相交直线
B.，且直线是相交直线
C.，且直线是异面直线
D.，且直线是异面直线
【详解】，为中点为中点，，共面相交，选项C，D为错．作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．
设正方形边长为2，易知，
．
，故选B．
9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于（）
序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.
【详解】不成立
不成立
成立
输出，故选D．
10.已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（）
【详解】设点，则①．又，②．由①②得，即，．故选B．
11.记不等式组表示的平面区域为，命题；
命题.给出了四个命题：
①；
②；
③；
④，这四个命题中，所有真命题的编号是（）
A.①③B.①②C.②③D.③④
意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】由得即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
12.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）
A.
B.
C.
D.
【详解】是R的偶函数，．
，又在（0，+∞）单调递减，，
，故选C．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，则___________.
【答案】
14.记为等差数列的前项和，若，则___________.
得
15.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【详解】由已知可得，．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
坐标为．
16.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【详解】由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为，其高为点O到底面的距离为3cm，则此四棱锥的体积为．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：
将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：
“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【详解】
（1）由题得，解得，由，解得.
（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
18.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（1）根据题意由正弦定理得，因为，故，消去得。
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
（2）因为是锐角三角形，又由前问，，得到，故又应用正弦定理，，由三角形面积公式有.又因,故，故.
故的取值范围是
19.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
（1）证：
，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
（2）取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM。
因此。
在中，DE=1，，故。
所以四边形ACGD的面积为4.
20.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
（1）对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
（2）
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
21.已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.
（1）证明：
直线过定点：
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.
设,,则。
又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立。
所以直线恒过定点.
（2）由
（1）得直线方程为，和抛物线方程联立得：
化简得.于是,设为线段的中点，则
由于，而,与向量平行，所以，
解得或.
当时，，所求圆的方程为;
当时，或，所求圆的方程为.
所以圆的方程为或.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分
选修4-4：
坐标系与参数方程
22.如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求极坐标.
【解析】
【分析】
（1）将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.
（2）根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.
（1）由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
.
（2）解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P极坐标为,,,.
选修4-5：
不等式选讲
23.设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：
或.
（1）根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.
（2）恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.
（1）故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立
所以的最小值为.
因为，所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.
所以成立，所以有或.
另解：
用反证法.
若或不成立，那么成立，则而左面等号成立当且仅当，又因为所以.故此时,即，与原命题矛盾放
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