随机变量及其分布期末练习题及答案Word格式.docx
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（2）由分布函数的性质知,
111
P（X（1,1沪F（I）一FIr；
11
P（XE（-3,2））=F（N-Fq）"
-
（3）由于F（X）最多除x=1和0点外处处可导，且在X=0,1处连续，若取
0,XCO或x>
1;
f（x）=丿
2x,OMX£
X
则f（x）_0,且对一切X有F（X）=J-f（t）dt,从而f（X）为随机变量X的密度函数。
2
3.设X~N（2,二）,且P（2：
X：
4）=0.3,求P（X：
O）
（2）
［解］因为O.3=P（2VX<
4）=①∣-Φ（O）
W丿
所以①2】=O.3+O.5=O.8
4•一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：
克）
Xi~N（55,52）,一般品种蛋重X2~N（45,52）。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；
（2）从中任取两个，求它们的重量都小于
50克的概率。
［解］
（1）设A:
任取一蛋其重量大于50克。
Bi:
任取一蛋为优良品种
B2:
任取一蛋为一般品种
则B1,B2互斥，且B1B2=S，P（BJ1P（B2）
P（AB2）=P（X250）=1-÷
50-45]=0.1587
I5Vl
3
由全概率公式得
P（A）=P（BJP（ABI）P（B2）P（AB2）
=-0.8413-0.1587=0.6138
33
（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率p=0.6138,小于50克的概率
q=1-p=1-0.6138
设任取2个，有Y个大于50克，则Y~B（2,P）
于是所求概率为
0022
P（Y=O）Gpq=（1-0.6138）=0.1492
问题与思考
1.以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？
2•非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？
3•设X为连续型随机变量，而g（x）为连续函数，Y=g（X）还是连续型随机变量吗?
4.不同的随机变量其分布函数可能相同吗?
5•连续型随机变量的密度函数连续吗？
练习与答案
1•一批产品，其中有9件正品，3件次品。
现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
2•重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为p（0：
P：
1）,出现反面的概率为
q=1—p,—直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
3.对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001,求至少有两次命中的概率。
1
4•已知某元件使用寿命T服从参数的指数分布（单位：
小时）。
（1）从这类元
10000
件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；
（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X的分布律
5•某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间X〜N（40,8）；
若采用乙工艺条件，则
完成时间X~N（50,42）。
（1）若要求在60小时内完成，应选何种工艺条件？
（2）若要
求在50小时内完成，应选何种工艺条件？
6•设某批零件的长度服从X~N^'
r-2）,现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度
小于」的概率。
7•设X分别为服从U/,U0,二1,U0,2二1的随机变量，求Y=SinX的概率密IL22
度函数
&
设流入某水库的总水量（单位：
百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。
超过7的水要溢出，求水库存水量Y的分布函数
参考答案：
1•分布列X0123
V—4
Fy（V）,4乞y：
7;
4
1,V-7.
1•连续型随机变量X的密度函数是f（X）,则P（a：
b）=
b
答案:
f（x）dx
La
2•设X为随机变量，已知D（X）
那么D（3X-S）=
答案：
18
3、设随机变量
A.1;
答案：
D
B.
厂0
Q.6
03
2:
01丿，则E（X）=（
C.0
D.
）o
05
~N（5,22）,求P3：
X：
8O
解X~N（5,22）
4、设随机变量
^ξ5~N（0,1）
X-5
<
<
P（3：
X<
8^P（^5
=：
」（「5）-G（-1）（查表）
=0.9322-10.8413
=0.7745
5.设随机变量X的密度函数是
f2
3（x-2）a£
XV3
f（X）二
求
（1）常数a;
（2）P（X<
2.5）
解
（1）根据密度函数的性质
J（X）dx=
f（x）
32
3（x-2）2CIX3
a'
J=1-（a-2）3
r2
3（x—2）2cχc3
=<
所以a=2
2.52
［3（x-2）2dx
2.5）=2
_（X—2）
6.设随机变量X的分布函数为
求：
⑴P（15<
2.5）；
⑵E（X）.
2.522
解⑴P（15<
2.5）=Jgdx=1.53（XT）dx
（x-1）3
15=0.875
■匕:
i22
⑵E（X）=rf（x）dχ=.13x（x-1）dx
（3χ4-2χ3+9χ2）
42
9•盒中装有分别标1,2,3,4,5数字的球，从中任取2个,用X表示所取2球中最大的数字.求X的概率分布.
ClC4
所以X的概率分布为:
110210310410
二）、例题分析
1、
（1）“代B,C三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为。
ABBCAC。
（2）事件A,B满足P（A）=O.5,P（B）=O.6,P（BA）=0.8,则P（A+B）=
分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有
P（AB）=P（A）P（B）-P（AB）
二P（A）P（B）-P（A）P（BA）
=0.50.6-0.50.8=0.7
（3）对于任意事件A,B,c,则P（ABCH。
P（A）+P（B）+P（C）_P（AB）_P（BC）_P（AC）十P（ABC）分析P（ABC）=P（（AB）C）
=P（AB）P（C）_P[（AB）C]
=P（A）P（B）-P（AB）P（C）-P（ACBC）
=P（A）P（B）P（C）_P（AB）_P（BC）_P（AC）P（ABC）
2、事件A,B若满足P（A）P（B）1,则A与B—定（）
（A）不相互独立；
（B）互不相容；
（C）相互独立；
（D）不互斥
分析由加法公式，有
P（AB）=P（A）P（B）-P（AB）-1
而且P（A）P（B）1时，只有P（AB）=O时，才能保证上式成立，即AB=φ，
3、袋中有5个球（3个新球,则第二次取到新球的概率是（
33
（A）5；
（B）4；
2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次,）
13
（C）2；
（D）10
A
分析设A表示“第一次取到新球”的事件,
B表示“第二次取到新球”的事件。
故选择D正确。
P（B）=P（BABA）=P（BA）P（BA）
=P（A）P（BA）P（A）P（BA）
33233
=—X—+—X—=—
55555
4、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%,次品被
误定为正品的概率是2%,设A表示一产品经检查被定为正品，B表示产品确为正品，求
（1）P（B）,P（B）;
⑵P（AB）,P（AB）;
（3）P（A）O
解
（1）P（B）=0.8IP（B）=0.2
（2）P（AB）=P（B）P（AB）=0.80.97=0.776
P（AB）=P（B）P（AB）=0.20.02=0.004
（3）P（A）=P（ABAB）=P（AB）P（AB）=0.7760.004=0.78
f3（x^t——,X<
1；
■J-X
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