随机变量及其分布期末练习题及答案Word格式.docx

1、（2）由分布函数的性质知,1 1 1P（X（1,1沪 F（I） 一 FIr ；1 1P（XE（-3,2） = F（N-Fq）-（3）由于F（X）最多除x=1和0点外处处可导，且在 X = 0,1处连续，若取0, X CO或x1; f（x） =丿2x,O MX X则f（x） _0,且对一切X有F（X） = J-f （t）dt ,从而f （X）为随机变量X的密度函数。23.设 X N（2,二）,且 P（2 ： X ： 4） =0.3 ,求 P（X ： O）（2 ）解因为 O.3= P（2 VX 4）= -（O）W丿所以 2】=O.3 + O.5=O.84 一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三

2、分之一，优良品种蛋重（单位：克）Xi N（55,52）,一般品种蛋重 X2 N（45,52）。（1）从中任取一个，求其重量大于 50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。解（1）设A :任取一蛋其重量大于 50克。Bi :任取一蛋为优良品种B2 :任取一蛋为一般品种则 B1,B2互斥，且 B1 B2 =S，P（BJ 1P（B2）P（AB2） =P（X2 50） =1 -50 -45 =0.1587I 5 Vl3由全概率公式得P（A）=P（BJP（ABI） P（B2）P（AB2）=- 0.8413 - 0.1587 =0.613833（2）从中任取 2个，每个蛋重大于 50

3、克的概率 p =0.6 138,小于 50克的概率q =1 - p =1 -0.6138设任取2个，有Y个大于50克，则Y B（2, P）于是所求概率为0 0 2 2P（Y=O） Gpq = （1 -0.6138） =0.1492问题与思考1.以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？2 非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？3设X为连续型随机变量，而 g（x）为连续函数，Y =g（X）还是连续型随机变量吗?4.不同的随机变量其分布函数可能相同吗?5连续型随机变量的密度函数连续吗？练习与答案1一批产品，其中有 9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取 到正品以前已

4、取出次品数的分布列、分布函数。2 重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 p（0 ： P ：1）,出现反面的概率为q =1 p ,直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3.对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为 0.001 ,求至少有两次命中的概率。14 已知某元件使用寿命 T服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元10000件中任取一个，求其使用寿命超过 5000小时的概率；（2）某系统独立地使用 10个这种元件， 求在5000小时之内这些元件不必更换的个数 X的分布律5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 XN（40,8 ）；若采用乙工艺条件，则完成时间

5、X N（50,42）。（1）若要求在60小时内完成，应选何种工艺条件？ （ 2）若要求在50小时内完成，应选何种工艺条件？6设某批零件的长度服从 X Nr-2）,现从这批零件中任取 5个，求正好有2个长度小于的概率。7设X分别为服从U / , U 0,二1, U 0,2二1的随机变量，求 Y=Sin X的概率密 IL 2 2度函数&设流入某水库的总水量 （单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为 7。, 超过7的水要溢出，求水库存水量 Y的分布函数参考答案：1 分布列 X 0 1 2 3V 4 Fy（V） ,4 乞 y ： 7;41,V-7.1连续型随机变量 X的密度函数是f （X

6、）, 则 P（a ： b）=b答案:f （x）dxL a2设X为随机变量，已知 D（X）那么 D（3X -S） =答案：183、设随机变量A. 1 ; 答案：DB.厂0Q.6032 :01 丿，则 E（X）=（C. 0D.）o05N（5,22）,求 P3 ：X ：8 O解 XN（5,22）4、设随机变量5 N（0,1）X -5 P（3 ： X 8P（5=：（5）-G（-1）（查表）= 0.9322-1 0.8413=0.77455.设随机变量X的密度函数是f 23（x -2） a X V 3f （X）二求（1）常数 a; （2）P（X2.5）解（1）根据密度函数的性质J（X）dx =f（x）3

7、 23（x-2）2 CIX 3a J =1 - （a-2）3r 23（x2） 2cc3=所以a=22.5 23（x-2）2dx2.5）= 2_（X2）6.设随机变量X的分布函数为求： P（15 2.5）； E（X）.2.5 2 2解 P（15 2.5）= Jgdx= 1.53（XT） dx（x-1）315 = 0.875匕:i 2 2 E（X）= rf（x）d= .13x（x-1） dx（34-23+92）429盒中装有分别标1,2,3,4,5数字的球，从中任取 2个, 用X表示所取2球中最大的数字.求X的概率分布.Cl C4所以X的概率分布为:1 10 2 10 310 4 10二）、例题分

8、析1、 （ 1） “代B,C三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为 。AB BC AC。（2）事件 A,B 满足 P（A）=O.5, P（B）=O.6, P（BA） = 0.8,则 P（A + B） = 分析 根据概率的加法公式与乘法公式，我们有P（A B）=P（A） P（B） - P（AB）二 P（A） P（B） -P（A）P（BA）= 0.5 0.6 - 0.5 0.8 = 0.7（3）对于任意事件A, B,c ,则P（A B CH 。P（A） + P（B） + P（C） _ P（AB） _ P（BC） _ P（AC）十 P（ABC） 分析 P（A B C） = P（A B） C）=

9、P（A B） P（C） _ P（ A B）C=P（A） P（B） - P（AB） P（C） - P（AC BC）=P（A） P（B） P（C） _ P（AB） _ P（BC） _ P（AC） P（ABC）2、 事件A,B若满足P（A） P（B） 1 ,则A与B 定（）（A ）不相互独立； （B）互不相容；（C）相互独立； （D）不互斥分析由加法公式，有P（A B） = P（A） P（B） -P（AB） -1而且P（A） P（B） 1时，只有P（AB）=O时，才能保证上式成立，即 AB= ，3、袋中有5个球（3个新球, 则第二次取到新球的概率是（3 3（A）5 ； （B）4 ；2个旧球），每次取

10、一个，有放回地取两回地取两次, ）1 3（C） 2 ； （ D）10A分析设A表示“第一次取到新球”的事件,B表示“第二次取到新球”的事件。故选择D正确。P（B）=P（BA BA）=P（BA） P（BA）= P（A） P（BA） P（A） P（BA）3 3 2 3 3=X +X=55 5 5 54、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是 3%,次品被误定为正品的概率是 2% ,设A表示一产品经检查被定为正品， B表示产品确为正品，求（1） P（B）,P（B）; P（AB）, P（AB）; （3）P（A） O解（ 1） P（B） =0.8IP（B） =0.2（2）P（AB）=P（B） P（AB）= 0.8 0.97 = 0.776P（AB）=P（B） P（AB）= 0.2 0.02=0.0 0 4（3）P（A）=P（AB AB） = P（AB） P（AB）= 0.776 0.004 = 0.78f3 （x t, X 1 ；J-X