微分几何测试题集锦含答案Word文档下载推荐.docx
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在点的切线和法平面。
曲率和挠率。
22、对于圆柱面,试求
的第一、第二基本形式;
在任意点处沿任意方向的法曲率;
在任意点的高斯曲率和平均曲率;
试证的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题
(二)
一.单项选择题(2×
10=20分)
1.若向量函数的终点在通过原点的一条直线上,则()
A.是定长的;
B.是定向的;
C.;
D..
2.对于向量函数,若,则()
A.是定长向量;
B.定长向量;
C.是定向向量;
D.是定向向量.
3.设均为非零向量,且,则( )
A.线性相关;
B.线性无关;
C.可以由线性表示;
D.可以由线性表示.
4.挠率曲率的曲线是()
A.半径为4的圆;
B.半径为的圆;
C.半径为2的圆;
D.半径为的圆.
5.空间曲线的形状由()决定
A.由曲率和挠率;
B.仅由曲率;
C.仅由挠率;
D.由参数的选取.
6.曲率是常数的曲线()
A.一定是直线;
B.一定是圆;
C.一定是球面上的曲线;
.答案A,B,C都不对.
7.设S是球面,则()
A.S上每一点是双曲点;
B.S上每一点是抛物点;
C.S上的圆的指向球心;
D.S上的测地线的指向球心.
8.若曲面S在每一点的高斯曲率为,则它可以与半径为()
的球面贴合
A.;
B.2;
C.;
D.4.
9.圆柱螺线在任一点的切线与轴的夹角()
A.为;
B.;
C.与有关;
D.与有关.
10.设非直线的曲线C是曲面S:
上的测地线,则有()
A.C在每一点∥;
B.C在每一点;
C.C在每一点∥;
D.C在每一点.
一.判断题(2×
1.向量函数满足,则必有一常向量,满足⊥.
2.如果曲线C:
的所有向径共面,则必与某一固定向量垂直.
3.曲线的形状只由曲率和挠率决定.()
4.直纹面上的直母线一定是曲率线.()
5.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切,则C是S上的测地线.
6.如果两个曲面S与S之间的一个对应关系,使得它们在对应点有相同的高斯曲率,则S与S等距等价.
7.设曲面S:
=,如果,则—线是曲率线.()
8.设曲面S:
=,如果,则曲面上的所有曲线都是曲率线.
9.曲面上任意两点的连线中,测地线段最短.()
10.球面上的曲率线是大圆.()
二.计算题(10×
4=40分)
1.求曲线C:
=}上在处的密切面方程.
2.已知曲线C:
=(是弧长参数)的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数,求曲线:
=的曲率和挠率.
3.求曲面上的渐近线.
4.求圆环面S:
={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin}
上的椭圆点,双曲点和抛物点.
三.证明题(10×
2=20分)
1.证明:
如果曲线的所有都经过一个固定点,则曲线是以固定点为圆心的圆.
2.设C是半径为的球面上半径为的圆,是曲率.证明:
.
B
1.设,若∥则()
D.为任意实数.
2.设曲线C:
满足则()
A.C是单位球面上的曲线;
B.是C的弧长参数;
C.变向量具有固定方向;
D.变向量具有固定长度.
3.若向量函数对于任意都有.则()
A.是定向的向量;
B.是定长的向量;
C.;
D..
4.可展曲面上每一点都是()
A.椭圆点;
B.抛物点;
C.圆点;
D.平点.
5.若曲线C的曲率则()
A.C是半径为2的圆;
B.C是半径为的圆;
C.C是半径为的圆;
D.C是半径为的圆.
6.曲面上与线正交的曲线满足()
A.;
B.;
C.;
7.设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线,则()
A.C在每一点,∥;
B.C在每一点,;
C.C在每一点,∥;
D.C在每一点,.
8.在曲面S:
上,线的微分方程是()
9.若两个曲面等距等价,则()
A.它们有相同的第一基本形式;
B.它们有相同的第二基本形式;
C.它们有相同的第三基本形式;
D.把其中一个经过连续的弯曲变形,就能和另一个贴合.
10.若曲面S:
上任一点,都有,则()
A.参数曲线网是渐近线网;
B.参数曲线网是曲率线网;
C.参数曲线网是测地线网;
D.答案A,B,C都不对.
二.判断题(2×
1.向量函数满足则必有一常向量,满足⊥.()
的所有向径共面,则C就在通过原点的一个平面上.()
3.曲线C:
=与曲线:
=在处有相同的曲率.()
4.曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆.()
5.设S是平面,则S上每一点,都有==0.()
6.球面上的圆的指向球心.()
7.可展曲面上没有双曲点.()
8.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.()
9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切,则S在C上每一点,沿着C的方向,都有,=.()
10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.()
三.计算题(10×
1.求曲线C:
={,}的曲率和挠率.
2.设曲线C:
=是平面曲线,求.
3.求圆柱面=在处的切平面方程,并说明,沿任意一条直母线,只有一个切平面.
4.求曲面S:
=的高斯曲率.
四.证明题(10×
如果一条曲线:
=(s)(s是弧长参数)的所有从切面都经过一个固定点,则的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2.证明:
可展曲面上的直母线是曲率线.
证明:
如果可展曲面S上有两族直母线,则S是平面.
《微分几何》测试题(三)
具有固定方向的充要条件是______________________。
挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。
曲线在点的主法向量是,则曲线在P点的从切面方程是
。
如果一曲线的主法线与一固定方向垂直,则这曲线的副法线与这固定方向
曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。
6.曲面上一曲线,如果它每一点的切方向都是主方向,则称该曲线为
____________。
7.半径为R的球面的高斯曲率K=.
8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。
9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。
10.在可展曲面上,测地三角形的三内角之和。
1、圆柱螺线在点的切线为______。
A、B、
C、D、
2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。
A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0
C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0
3、在直纹面(为单位向量)中,导线是腰曲线
的充要条件是_____。
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。
A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0
5、下列曲面中_____不是可展曲面。
A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面
6、曲面上,不是曲面的内蕴量。
A、两曲线的夹角B、曲线的弧长
C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面,是其单位法向量,下列第二类基本量的计算中,是不正确的。
A、N=B、N=C、N=D、N=
9、球面的坐标曲线构不成。
A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网
10、曲线在P点的基本向量是曲率为k(s),挠率为,则=。
三.计算题:
(1、2题各10分,3题8分,共26分)
1、求螺线上点的曲率和挠率。
2、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯
曲率。
四.证明题:
(每小题8分,共24分)
如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线,那么它是平面曲线。
《微分几何》测试题(四)
一、填空题(每小题2分,共20分)
1、变矢满足的充要条件是______________________。
2、曲线(C)上P点处的三个基本向量为、、,则过P点由和确定的平面叫曲线(C)在P点的________________________。
3、若曲线在各点的曲率_________________,则曲线是直线。
4、曲线穿过__________和密切平面,但从不穿过_______________。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角,而它的主法线与这个固定方向________________。
6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后,它们有相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。
9、曲面的高斯曲率为K,测地曲率为可kg,G是单连通曲面域,G的边界是一条光滑闭曲线,则。
二、选择题(每小题3分,共30分)
11、若曲面S上曲线(C)是平面曲线,则一定有_____恒等于零。
A、法曲率knB、挠率τ
C、测地曲率kgD、曲率k
12、在圆柱面上,圆柱螺线是_____。
A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线
13在椭圆抛物面上,高斯曲率K_____。
A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定
14、设、、是曲线(C)在一点的三个基本向量,则=_____(k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率)。
A、kB、τC、-τD、τ
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。
A、F=0B、M=0C、F=M=0D、L=N=0
16、曲面上的直线不一定是_____。
A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线
19、下列直纹曲面中,_____是可展曲面。
A、锥面B、单叶双曲面