微分几何测试题集锦含答案Word文档下载推荐.docx

1、在点的切线和法平面。曲率和挠率。22、对于圆柱面，试求的第一、第二基本形式；在任意点处沿任意方向的法曲率；在任意点的高斯曲率和平均曲率；试证的坐标曲线是曲率线。微分几何测试题（二）一单项选择题（210=20分）1若向量函数的终点在通过原点的一条直线上，则（ ）A 是定长的； B. 是定向的；C ； D. .2对于向量函数，若，则（ ）A是定长向量； B.定长向量；C是定向向量； D.是定向向量.3设均为非零向量，且，则（ ）.线性相关；.线性无关；.可以由线性表示； D.可以由线性表示.4挠率曲率的曲线是（ ）A 半径为4的圆； B.半径为的圆；C半径为2的圆； D.半径为的圆.5空间曲线的形

2、状由（ ）决定A 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；C 仅由挠率； D. 由参数的选取.6曲率是常数的曲线（ ）A 一定是直线； B. 一定是圆；C 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C都不对.7设S 是球面， 则（ ）A S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点；C S上的圆的指向球心； D. S上的测地线的指向球心.8若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为（ ）的球面贴合A ； B. 2； C. ； D. 4.9圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角（ ）A 为； B. ； C. 与有关； D. 与有关.10设非直线的曲线C是曲面S:上的测地线，则有（ ）A. C在每一点; B.

3、 C在每一点;C. C在每一点; D. C在每一点.一判断题（21向量函数满足，则必有一常向量，满足. 2如果曲线 C:的所有向径共面，则必与某一固定向量垂直. 3曲线的形状只由曲率和挠率决定. （ ）4直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）5若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切，则C是S上的测地线. 6如果两个曲面S与S之间的一个对应关系， 使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则S与S 等距等价. 7设曲面S：=, 如果,则线是曲率线. （ ）8设曲面S：=，如果，则曲面上的所有曲线都是曲率线. 9 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短. （ ）10球面上的曲率线是大圆. （ ）

4、二计算题（104=40分）1求曲线C：=上在处的密切面方程.2已知曲线C：=（是弧长参数）的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数，求曲线：=的曲率和挠率.3求曲面 上的渐近线.4求圆环面 S：= （b+acos）cos , （b+acos）sin , a sin 上的椭圆点，双曲点和抛物点.三证明题（102=20分）1证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.2 设C是半径为的球面上半径为的圆，是曲率.证明： .B1设， 若 则 （ ） D. 为任意实数.2设曲线C: 满足 则 （ ）A. C是单位球面上的曲线； B. 是C的弧长参数；C. 变向量具有固定方向； D.

5、变向量具有固定长度.3若向量函数对于任意 都有. 则 （ ）A. 是定向的向量； B. 是定长的向量；C. ； D. . 4可展曲面上每一点都是 （ ）A. 椭圆点； B. 抛物点；C. 圆点； D. 平点.5若曲线C的曲率 则（ ）A. C是半径为2的圆; B. C是半径为的圆;C. C是半径为的圆; D. C是半径为的圆.6曲面上与线正交的曲线满足 （ ）A. ; B. ;C. ;7设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则 （ ）A C在每一点，； B. C在每一点,；C C在每一点，； D. C在每一点，.8在曲面S:上，线的微分方程是（ ）9若两个曲面等距等价，则（ ）A.它们有

6、相同的第一基本形式；B.它们有相同的第二基本形式；C它们有相同的第三基本形式；D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.10若曲面S:上任一点，都有，则（ ）A参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网；C参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对.二判断题（21.向量函数满足 则必有一常向量，满足.（ ）的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（ ）3. 曲线 C： =与曲线：=在处有相同的曲率. （ ）4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设S是平面， 则S上每一点，都有=0. （ ） 6. 球面上的圆的指向球心. （ ） 7. 可展曲面上没

7、有双曲点. （ ） 8. 高斯曲率K0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. （ ）9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有， =. （ ）10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）三计算题（101. 求曲线C：=, 的曲率和挠率.2. 设曲线C： =是平面曲线， 求.3. 求圆柱面 =在处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.4. 求曲面S：=的高斯曲率.四证明题（10如果一条曲线：=（s） （s是弧长参数）的所有从切面都经过一个固定点，则 的挠率和曲率之比是s的一次函数.2证明：可展曲面上的直母线是曲率线.证明：如果

8、可展曲面上有两族直母线，则是平面.微分几何测试题（三）具有固定方向的充要条件是_。挠率_的曲线其副法向量是常矢。曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是 。如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。 6曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为_。7半径为R的球面的高斯曲率K= .8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。10在可展曲面上，测地三角形的三内角之和。 1、圆柱螺线在点的切线为_。A、 B、C、 D、 2、曲面的三个基本形式之间的

9、关系为_。A、+2H+K=0 B、-2H+K=0C、-2K+H=0 D、-2H-K=0 3、在直纹面（为单位向量）中，导线是腰曲线的充要条件是_。 4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 5、下列曲面中_不是可展曲面。A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长C、曲面域的面积 D、在一点沿一方向的法曲率 7、曲面，是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中， 是不正确的。A、N = B、N = C、N = D、N = 9、球面的坐标曲线构不

10、成 。A、正交的渐近网 B、共轭网 C、曲率线网 D、半测地坐标网 10、曲线在P点的基本向量是曲率为k（s） ,挠率为，则= 。三计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）1、求螺线上点的曲率和挠率。2、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯曲率。四证明题：（每小题8分，共24分）如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。微分几何测试题（四）一、填空题（每小题2分，共20分）1、变矢满足的充要条件是_。2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、，则过P点由和确定的平面叫曲线（C）在P点的_。3、若曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。4、曲线穿过_和密切平面，但从不穿过_。

11、5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向_。6、两个曲面间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的_。9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界是一条光滑闭曲线，则。二、选择题（每小题3分，共30分）11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_恒等于零。A、法曲率kn B、挠率C、测地曲率kg D、曲率k12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_。A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定14、设、是曲线（C）在一点的三个基本向量，则=_（k,分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。A、k B、 C、 D、15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_。A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 016、曲面上的直线不一定是_。A、渐近线 B、曲率线 C、测地线 D、法截线19、下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、锥面 B、单叶双曲面