四高职不定积分教案Word文档下载推荐.docx

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设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。

注2：

如果与都为在区间I上的原函数，则与之差为常数，即

（C为常数）

注3：

如果为在区间I上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。

如果为的一个原函数，则

，（为任意常数）

例1．因为，得

例2．因为，时，；

时，，得

，因此有

例3．设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。

解：

设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为

从而

由，得，因此所求曲线方程为

三、不定积分的性质

由原函数与不定积分的概念可得：

1）

2）

3）

4）

5）

四、不定积分的几何意义

不定积分的几何意义如图5—1所示：

图5—1

设是的一个原函数，则在平面上表示一条曲线，称它为的一条积分曲线．于是的不定积分表示一族积分曲线，它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线，其斜率都等于．

在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式，再从中确定一个满足条件（称为初始条件）的原函数．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点的积分曲线．

例4设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程．

解设所求曲线的方程为，按题意有

．

于是

．

因为这曲线通过点，代入上式可得．故所求曲线的方程为

小结：

本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用。

三、基本要求：

3、巩固不定积分的概念；

4、掌握不定积分的基本公式和不定积分的性质；

5、熟练掌握直接积分法。

四、授课内容：

4-2不定积分的概念与性质

二、不定积分的的基本公式及性质

1、积分公式

1）（为常数）

2）（）

6）

7）

8）

9）

10）

11）

12）

13）

14）

15）

2、不定积分的性质

性质1．

性质2．，　（为常数，）

二、直接积分法

例1．求　

例2．求　

例3．求　

例4．求　

a）求　

b）求　

1、了解换元积分法的基本思想；

2、熟练掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法。

4-3换元积分法

一、第一类换元积分法（或称凑微分法）

设为的原函数，即或

如果，且可微，则

即为的原函数，或

因此有

定理1设为的原函数，可微，则

（2-1）

公式（2-1）称为第一类换元积分公式。

例1．求

例2．求

例3．求

原式=

例4．求，

例5．求

例6．求

例7．求

例8．求

二、第二类换元积分法

定理2设是单调的可导函数，且，又设具有原函数，则

（2-2）

其中为的反函数。

公式（2-2）称为第二类换元积分公式。

例9．求，

令，，则

，，因此有

例10．求，

其中。

用类似方法可得

例11．求

本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。

第一类换元法也称为“凑微分”的方法。

第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。

“倒代换”也属于第二类换元法。

1、熟悉不定积分的分部积分公式；

2、掌握三种不同类型函数的分部积分法。

4-4分部积分法

一、分部积分法

设，，则有

或

两端求不定积分，得

即

（3-1）

（3-2）

公式（3-1）或（3-2）称为不定积分的分部积分公式。

由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。

例4．求

由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。

例5．求

因此得

例6．求

令，则，，因此

本节学习了不定积分的分部积分法。

对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。

五、基本要求：

6、了解积分表的结构；

7、掌握积分的使用方法。

六、授课内容：

4-5　积分表的使用方法

1.在积分表中能直接查到的

例1　查表求

解　被积函数含a+bx因式，在积分表

（一）类中，查到公式9，

当a=3，b=2时，

得

例2　查表求

解　被积函数含a+bsinx因式，在积分表（十一）类中，查到公式103或104，因为a=5，b=4，a2>

b2.

所以用公式103，

2.先进行变量代换，再查表

例3　查表求

解　该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，

令3x=t，

于是有

上式右端积分的被积函数中有

在积分表（五）类中，查到公式39，当a=2（x相当于t）时，得

代入原积分中，得

3.用递推公式

例4　查表求

解　被积函数中含三角函数，在积分表（十一）类中查到公式97，

递推公式为

当n=4时，原积分为

等，都不能用初等函数表示.

第五章小结

一、不定积分

定义在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。

16）

17）

18）

19）

20）

21）

22）

23）

24）

25）

26）

27）

28）

29）

30）

三、积分法

1、直接积分法

2、换元积分法

（1）第一类换元积分法

（2）第二类换元积分法

3、分部积分法