给逻辑学弄点鸡血吧1Word文档格式.docx

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为何要先学集合呢？

其实，整个流程无外乎如此：

概念→判断（命题）→逻辑→推理→谬误，概念是对事物解释说明，是命题的基础，命题则是逻辑推理之基。

是故概念为起源。

然概念如果只从字面进行推敲则会显得过于晦涩难懂，诚如题记所言，“化抽象为形象”是理解抽象的最好办法，如果有哪种东西能够使概念实体化，那就是集合。

当然，韦恩图则是对集合的进一步实体化，如此也就照出了“概念”的庐山真面目。

集合与韦恩图在手，你会发现后期与逻推打交道要省事很多，至少当年的数学大佬罗素康托等人如是认为。

概念，就是对事物解释说明。

今有俩小弟，内涵与外延，就是给概念当扩音器的。

内涵表示概念的内在属性特点，外延表示满足概念定义的全部事物。

譬如概念“侦探”，包括且不限于以下内涵：

案件调查员、机密寻找者、观察高手、推理高手、破案高手等；

包括且不限于以下外延：

狄仁杰、福尔摩斯、江户川柯南、波洛、李昌钰等。

为了规范记录外延范围，于是创造了集合，比如集合“侦探”：

{狄仁杰、福尔摩斯、江户川柯南、波洛、李昌钰、……}；

有人大概觉得列举太费笔墨了，于是画了个圈圈，以表示各元素所组成就成了韦恩图。

概念外延的关系反映为集合即韦恩圆之间的关系。

诚如上述所言，韦恩图是对集合的实体化，集合则是对概念的实体化，故韦恩图是对概念的最终本质化与形象化。

而命题是对概念进行判断的，命题之间的逻辑联系即是概念之间的交互关系，即是韦恩圆的交互关系。

命题之间，逻辑相连，即成更为复杂的命题；

之间再以特定逻辑相连即是推理。

而这些千丝万缕的乱七八糟的关系通过集合的韦恩图形显然可以一望欲穿，这便是集合存在的意义。

此乃逻辑发展之黑历史，后会详叙。

以下且先研究集合。

集合之定义想来教材度娘定然详焉，在此便不废话，以下且从另一个角度来理解：

集合，可以看做“我的电脑”里的文件夹。

元素，当然是文件夹里的各种文件。

无视懒人乱放文件的习惯，假设整理文件者皆为聪明人，那么他会把相应性质的文件放入对应性质的文件夹，方才符合文王之数。

文件可为doc、ppt、excel等，集合元素亦可为实数、整数、点等。

集合性质有三：

确定性：

即有定性定量标准。

今新建一文件夹名曰“高中数学里的重点”，这归类可就五花八门了——何为重点？

有人说是导数、有人认为是三角、还有人坚持概率，我特么还觉得逻辑推理才是最重要的呢（笑）。

因此标准必须明确，如新建文件夹“高中函数”，如是，我才会默默地把文件“指数函数.doc”、“对数函数.doc”、“二次函数.ppt”、“三角函数.excel”、“导函数.doc”云云，这些都拖进文件夹。

再言另一集合名曰“全天下所有的傻【哔~】”，这种分类同样也是尴尬的，傻哔的定义是啥？

IQ＜50？

病院的疯子？

无德无能之人？

当然还有奇葩之人认为牛顿爱因斯坦才是傻哔，更有甚者，说不定看谁不爽就诬谁为傻哔，然后把TA丢进集合里去，那就太可怕了！

无序性：

顾名思义，{1,2,3}={2,3,1}。

也许各位觉得不值一提，然而现实的确存在“顺序决定地位”的神逻辑，而且还大有人在。

譬如集合“华语乐坛两大天王”：

{周杰伦、王力宏}，这时会有人说了，你把周排在王前面是不是觉得王不如周？

然后就把别人给批判一番。

持此论调者还大有人在，皆是不理解集合无序性所致。

{周、王}={王、周}，完全一个意思，没有任何区别。

你若非要认为这俩集合都不平等，是不是我非得念成：

周+王=zhou+wang=zhuang=“装”，这样你才觉得平等了？

（谨以该字送给神逻辑持有者）

互异性：

集合元素不可重复。

你在修改文件名时，操作系统绝不会允许俩文件重名，这是基本法。

当然了，要是有谁闲的蛋疼，把同一个文件复制粘贴一千遍然后全都放文件夹里面，也不怕把几十个G都压垮，那绝对是吃饱撑的。

同理，如集合{1,1,1,1}是没有任何意义，不如{1}来得凝练。

然后知道元素与集合是从属关系；

集合之间的关系运算包括且不限于：

分离、重合、交集、并集、补集、包含，这也是日后逻辑关系的全部。

空集，可能萌新第一次接触时一脸懵逼，其实就是新建了一个文件夹，里面什么文件都不放，可这个空文件夹确实存在，是为空集。

你可以在任何文件夹里面新建一个空文件夹，只要不往里面乱放文件，就不会改变整个大文件夹的属性，是为：

任何集合都包含空集。

你就是在空文件夹里再新建一个空文件夹也无所谓。

当然，一般聪明人都会选择在一个大文件夹里面套多个小文件夹，再把各个文件分门别类装进去，否则一股脑都丢在一个夹里面就太乱了。

如文件夹“高中数学”，细心者会在文件夹里再建立几个子文件夹如“函数”、“平面几何”、“概率”等，然后再把所有文件分别丢进去，如此方便查询。

是为令集合A={B，C，D}，其中BCD皆为集合。

但是集合之间的关系永远都是包含而不是从属，于是就有B⊆A、C⊆A、D⊆A，而不是B∈A云云。

令A={∅}，则有∅⊆A也成立，即∅⊆{∅}，毕竟空集和BCD一样也是一种特殊的集合。

{∅}是为大空文件夹里面又建了一个小空文件夹，那么小空文件夹当然包含在大空文件夹里面啦（笑）。

当然，对于A={B，C，D}，你也可以把文件夹BCD里的文件都掏出来，变为A={a,b,c,d,e…}等等，只要元素abcde都是从集合BCD里面掏出来的，那么只要都掏干净了，删除文件夹BCD，所得到的集合A与原来无异。

集合的一些小事情而已，如若不理解可以联想新建文件夹与文件之间的关系，更形象的比喻是大袋套小袋，小袋装东西。

值得一提的是：

含n个元素的某集合S共有2n个子集。

除了穷举+归纳外，一种独特的见解是：

把每个元素当作一个活生生的人儿，把集合本身比喻为党组织，然后想象自己逐一询问每一个元素：

你是否入党？

回答是的属于集合，回答否者不属于集合。

如整数集有个子集为奇数集，这种子集的模式表明偶数全都退党了，而奇数继续缴纳党费。

每个元素都只有两种选择，不同的选择组合产生不同子集，根据计数原理可知子集总数，其中，若是众元素全都退党了那就成了空集，若是大家全都忠于组织那就成了全集。

总结可知该章主要讨论元素与集合的关系，主要是铺垫“概念”。

概念分为集合概念与非集合概念（即元素性质的概念），如“上海交大”是为元素概念，“大学”是为集合概念。

混淆二者必然贻笑大方，如笑话“人类的祖先都是毛猴子，达尔文是人类，所以达尔文是毛猴子生的”，该神逻辑笑点不少，最可笑之处在于混淆俩词“人类”性质不一，前者为集合，后者为个体。

另如“小明热爱人民，小红是人民，所以小明爱小红”亦为不区分“人民”集合与个体元素之分而令明白人笑料。

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命题（判断）：

表示对概念关系之间的判断。

何意？

概念本身是需要解释说明的，一般说某个概念C满足某种性质p，而性质p亦可看作是另一种概念，即满足性质p的概念P，由此我们得到“概念C可解释说明为概念P”，即俩种概念之间的关系，而这种关系是可判断的，即可确定真假。

故命题完整定义：

可对概念关系进行判断真假的客观陈述句。

注意三个圈红关键词，且听本人徐徐道来：

客观陈述句：

譬如烂大街命题“苏格拉底是人”，其实你完全可以把这句话改写为各种诸如“苏格拉底是人吗？

”（疑问）、“难道苏格拉底不是人？

”（反问）、“苏格拉底真TMD不是人！

”（感叹）、“苏格拉底，去死吧！

”（祈使）、“苏格拉底，你给我滚出去！

”（命令）等句式，你会发现，疑问祈使命令句语焉不明，无法说它是真是假，而能够明确真假的感叹句反问句又带有强烈的主观感情色彩，煽情与否那是语言学和心理学的事情，逻辑学需要一个相对客观，所以选用了语文压根看不上的陈述句作为研究对象。

判断真假：

意即命题要么是真的（成立）要么是假（不成立），日后还须研究多个命题之间的搞基亲密关系，这时会频繁提及命题真假，画真值表，这点对于命题关系至关重要（虽然可能高中不学）。

对于命题的真假可用汉字“真”“假”表示，也可以用英字“T”“F”表示，也可以用日式“○”“×

”表示，当然也可以用二进制“1”“0”，符号“+”“-”表示。

为符合数理逻辑之法，我偏好二进标记。

概念关系：

概念可为元素（单数个体）或集体（复数集体），概念C与概念P之间解释说明的方式也不尽一致，如此决定了不同命题的不同关系分类，以下几种是逻辑学大佬公认的分类模式：

模态命题、简单命题（关系命题、性质命题）、复合命题。

以下将详细介绍：

模态命题：

带有“必然”、“可能”字眼的命题，显然是与概率有关。

一般形式为：

事件A必然/可能/不可能发生。

其中，事件A对应概念C，发生几率对应概念P。

不难理解，这种命题用来描述生活琐事最为合适，毕竟你无法预知下一秒将会发生什么。

然而对于不是即非的严谨的数学和逻辑学来说，一个命题不是真便是假，概率是概率论关心的问题，真假才是数理逻辑更关心的问题，因此接下来的命题类型更常用于数理研究。

模态详见于概率这章（你觉得某些概率公式示意图与逻辑公式韦恩图很像，正是因为概率来源于模态）。

关系命题：

形为“…互为…”、“比…更…”的命题，描述概念S与P之间的相互关系，比如“张和李互为同学”、“张比李年长三岁”、“a与b互为倒数”、“a＞b”。

这类命题常见于数学之中，逻辑学倒更侧重于接下来的类型。

性质命题：

形为“S是P”，显然这种命题是烂大街的家喻户晓，都很熟悉。

其中“是”字言简意赅，根据SP分别是个体元素还是复数集合，至少包含三层含义：

①元素是元素（x=y），如“东京（元素）是日本首都（元素）”

②元素是集合（x∈B），“苏格拉底（个体）是人类（的一份子）”（俗称白马非马）

③集合都是集合（A⊆B），“狗类（的所有成员）都是畜生（属于畜生集合）”

④集合有些是集合（部分A⊆B），“有些狗类（部分成员）是狼（集合）”

其中，元素之间是为等同，元素属于集合，集合包含集合。

我们管①②为单称命题，③为全称命题，④为特称命题

依次记为：

①x是y；

②x是B；

③∀x∈A是x∈B（简称∀A是B）；

④∃x∈A是x∈B（简称∃A是B）

显然分类依据是根据主语单复数，是元素（单数）还是集合（复数）。

简单命题：

关系命题和性质命题皆因只包含一个命题，而且无逻辑符，故称简单命题，与之相对是复合命题。

复合命题：

简单命题带上∧∨→﹁四种逻辑符就成了复合命题。

复合命题里面包含的各个简单命题分别称为支命题。

以下依次介绍：

且命题：

p∧q，对应汉语为“…和/并且…”、“不仅…而且…”、“既…又…”，表示俩支命题必须同时成立时整个命题才为真，推广到N支命题林立交错的情况结论亦成立。

真值表如下所示：

P

Q

P∧Q

1

0

对应集合的韦恩图显然是取交集，如下所示：

此时可重新审视全称命题：

∀A是B，虽定义为简单命题，却可以复合命题理解：

1∀x，若x∈A，则x∈B

2a1∈B∧a2∈B∧a3∈B∧…∧an∈B（ak是集合A里的全部元素）

这两种理解方式在逻辑学大佬看来仍是有缺陷的，但对于吾等凡人来说如此理解足矣。

第一种是现代数理离散的理解方式，下文会讲解。

第二种则是传统理解方式，相较之下更进一步揭示了全称命题本质：

多个单称命题的复合。

这也是复合命题的支命题一般选用单称命题而不考虑特称全称的原因——因为简便不繁冗。

（由此可见高中知识并非各自为政，而是串通一气狼狈为奸）

或命题：

一种是不相容的，对