高考数学理一轮复习分层演练22函数的单调性与最值含答案Word下载.docx

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条件

（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

（1）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

结论

M为最大值

M为最小值

1．辨明两个易误点

（1）区分两个概念：

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；

如有多个单调区间应分别写出，一般不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接．例如函数f（x）＝在区间（－1，0）上是减函数，在（0，1）上是减函数，但在（－1，0）∪（0，1）上却不是减函数．

2．函数最值的有关结论

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（最小值）．

1．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝ln（x＋2）　　　　B．y＝－

C．y＝D．y＝x＋

　A　[解析]选项A的函数y＝ln（x＋2）的增区间为（－2，＋∞），所以在（0，＋∞）上一定是增函数．

2.函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则（　　）

A．m>

B．m<

C．m>

－D．m<

－

　B　[解析]使y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则2m－1<

0，即m<

.

3.如图是函数y＝f（x），x∈[－4，3]上的图象，则下列哪个说法是正确的（　　）

A．f（x）在[－4，－1]上是减函数，在[－1，3]上是增函数

B．f（x）在区间（－1，3）上的最大值为3，最小值为－2

C．f（x）在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3

D．当直线y＝t与y＝f（x）的图象有三个交点时－1＜t＜2

　C　[解析]根据题图提供的信息可知选C.

4.函数f（x）＝x2－2x，x∈[－2，4]的单调递增区间为________，f（x）max＝__________．

[解析]函数f（x）的对称轴为x＝1，单调增区间为[1，4]，f（x）max＝f（－2）＝f（4）＝8.

[答案][1，4]　8

5.已知函数f（x）＝，x∈[2，6]，则f（x）的最大值为________，最小值为__________．

[解析]可判断函数f（x）＝在[2，6]上为减函数，所以f（x）max＝f

（2）＝2，f（x）min＝f（6）＝.

[答案]2　

　确定函数的单调性（区间）[学生用书P20]

[典例引领]

（1）试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性．

（2）求函数f（x）＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

【解】　

（1）设－1＜x1＜x2＜1，

f（x）＝a＝a，

f（x1）－f（x2）＝a－a

＝，由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

函数f（x）在（－1，1）上递减；

当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

函数f（x）在（－1，1）上递增．

（2）f（x）＝

＝

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞）．

若将本例

（2）中函数变为f（x）＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？

[解]函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为（1－，1）和（1＋，＋∞）；

单调递减区间为（－∞，1－）和（1，1＋）．

[通关练习]

1．判断函数y＝在（－1，＋∞）上的单调性．

[解]法一：

任取x1，x2∈（－1，＋∞），且x1<

x2，

则y1－y2＝－＝.

因为x1>

－1，x2>

－1，所以x1＋1>

0，x2＋1>

0，

又x1<

x2，所以x2－x1>

所以>

0，即y1－y2>

0.所以y1>

y2，

所以函数y＝在（－1，＋∞）上是减函数．

法二：

y＝＝1＋.

因为y＝x＋1在（－1，＋∞）上是增函数，

所以y＝在（－1，＋∞）上是减函数，

所以y＝1＋在（－1，＋∞）上是减函数．即函数y＝在（－1，＋∞）上是减函数．

2．作出函数y＝|x2－1|＋x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．

[解]当x≥1或x≤－1时，y＝x2＋x－1＝－；

当－1<

x<

1时，y＝－x2＋x＋1＝－＋.画出函数图象如图所示：

由函数图象可知，函数的减区间为（－∞，－1]，，

函数的增区间为，[1，＋∞）．

　求函数的最值（值域）[学生用书P21]

（1）函数y＝x＋的最小值为________．

（2）函数f（x）＝－＋b（a＞0）在[，2]上的值域为[，2]，则a＝________，b＝________．

【解析】　

（1）法一：

令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，

所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方得y＝＋，

又因为t≥0，所以y≥＋＝1，

故函数y＝x＋的最小值为1.

因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞）内为增函数，所以ymin＝1.

（2）因为f（x）＝－＋b（a＞0）在[，2]上是增函数，

所以f（）＝，f

（2）＝2.

即，

解得a＝1，b＝.

【答案】　

（1）1　

（2）1　

[通关练习]

1．函数f（x）＝的最大值为________．

[解析]当x≥1时，函数f（x）＝为减函数，

所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

当x<

1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，

为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

[答案]2

2．函数f（x）＝|x－1|＋x2的值域为________．

[解析]因为f（x）＝|x－1|＋x2

＝，

所以f（x）＝

作出函数图象如图，

由图象知f（x）＝|x－1|＋x2的值域为.

[答案]

　函数单调性的应用（高频考点）[学生用书P21]

函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．

高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度：

（1）比较两个函数值或两个自变量的大小；

（2）解函数不等式；

（3）求参数的值或取值范围．

（1）（2016·

高考天津卷）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）＞f（－），则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，）

B．（－∞，）∪（，＋∞）

C．（，）

D．（，＋∞）

（2）已知函数f（x）＝（a>

0）在（2，＋∞）上递增，则实数a的取值范围为________．

【解析】　

（1）由f（x）是偶函数得f（－）＝f（），再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以由2|a－1|＜，得|a－1|＜，即＜a＜.

（2）任取2<

x1<

由已知条件，得f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋a×

＝（x1－x2）×

<

0恒成立，

即当2<

x2时，x1x2>

a恒成立．

又x1x2>

4，则0<

a≤4.

即实数a的取值范围是（0，4]．

【答案】　

（1）C　

（2）（0，4]

[题点通关]

角度一　比较两个函数值或两个自变量的大小

1．（2017·

昆明模拟）已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>

x1>

1时，[f（x2）－f（x1）]·

（x2－x1）<

0恒成立，设a＝f，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c>

a>

b　　　　　　　　B．c>

b>

a

C．a>

c>

bD．b>

c

　D　[解析]根据已知可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在（1，＋∞）上是减函数．因为a＝f＝f，且2<

3，所以b>

c.

角度二　解函数不等式

2．（2017·

泰安模拟）已知函数f（x）是定义在[0，＋∞）上的增函数，则满足f（2x－1）<

f的x的取值范围是（　　）

A.B．

C.D．

　D　[解析]由题意得

解得≤x<

角度三　求参数的值或取值范围

3．设函数f（x）＝若函数y＝f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]

B．[1，4]

C．[4，＋∞）

D．（－∞，1]∪[4，＋∞）

　D　[解析]作出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D．

[学生用书P22]）

——数形结合思想求函数最值

　已知函数f1（x）＝|x－1|，f2（x）＝x＋1，g（x）＝＋，若a，b∈[－1，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，>

0恒成立，则b－a的最大值为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．4D．5

【解析】　当f1（x）≥f2（x）时，

g（x）＝＋＝f1（x）；

当f1（x）<

f2（x）时，

g（x）＝＋＝f2（x）．

综上，g（x）＝

即g（x）是f1（x），f2（x）两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f1（x）与f2（x）的图象，则g（x）的图象如图中实线部分所示．由图可知g（x）在[0，＋∞）上单调递增，又g（x）在[a，b]上单调递增，故a，b∈[0，5]，则b－a的最大值为5.

【答案】　D

（1）本题利用了数形结合的思想，解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g（x）的表达式，然后再作出g（x）的图象，利用图象求出b－a的最大值．

（2）数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；

二是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

　对于a，b∈R，定义min{a，b}＝设函数f（x）＝－x＋2，g（x）＝log2（x＋1），φ（x）＝min{f（x），g（x）}，则φ（x）（　　）

A．有最小值1，无最大值

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

　B　[解析]根据定义，φ（x）的图象如图中实线所示．

由题意得φ（x）＝

所以φ（x）max＝g

（1）＝log22＝1，无最小值，故选B．

[学生用书P326（独立成册）]

1．下列四个函数中，在（0