中考数学复习指导《三角形》经典考点专题点评文档格式.docx

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（4）因此∠AMB＝∠DMC．

技巧贴士

本题要求证的是两个角相等，一般采用证明两角所在的两个三角形全等的方法．从图中观察到∠AMB与∠DMC所在的两个三角形△AME与△CMD显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：

AM—CM．结合本条件，加上结论，全等三角形条件有两个，因此我们想到通过添加辅助线，构造两个全等三角形△AMG、△CMD，从而得到∠AMB＝∠DMC．

题2

如图7－3所示，已知在△ABC中，AB＝AC，延长AB至D使BD＝AB，E为AB中点．求证：

CD＝2EC．

（1）如图7－4所示，延长CE至F使CE＝EF，再连接BF．

（2）易证△ACE≌△BFE，从而可得AC＝BF、∠CAE＝∠FBE．

（3）由∠CBD＝∠CAE＋∠ACB、∠CBF＝∠FBE＋∠ABC，可得∠CBD＝∠CBF．

（4）由条件BD＝AB＝AC＝BF，BC＝BC，易证△CBF≌△CBD．

（5）因此CD＝CF＝2EC．

本题还可用三角形中位线定理解答（三角形中位线是指连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半）．取AC的中点G，连接EG、BG，由AB＝AC，E、G分别为AB、AC中点，得出BE＝CG，从而△BEC≌△CGB．故CE＝BG．由中位线定理可知BG＝CD，所以CE＝CD．

题3

如图7－5所示，已知在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．求证：

AM＝EF．

满分解答

（1）如图7－6所示，延长AM至N，使MN＝AM，连接BN．

（2）易证△ACM≌△NBM，从而可得∠ACB＝∠NBC．

（3）由∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°

，可得∠ABC＋∠NBC＋∠BAC＝180°

，即∠ABN＋∠BAC＝180°

．

（4）再由∠EAF＋∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝360°

，得到∠EAF＋∠BAC＝180°

，即∠ABN＝∠EAF．

（5）结合条件EA＝AB，BN＝CA＝AF，易证△ABN≌△EAF．

（6）因此EF＝AN＝2AM，即AM＝EF．

已知条件中出现了中点以及AM＝EF形式，这暗示了可使用“中线倍长”的方法．通过将中线AM延长一倍后，证明AN＝EF，找到AN、EF所在的△ABN、△EAF，证明两个三角形全等即可．

思维点评

二次全等，就是通过两次三角形全等，解决题目中涉及的角度、线段间的关系．7年级学习了全等三角形，自然全等三角形是一种手段与工具．它能用于证明角、边的等量关系，因此证明边、角相等，往往就是证明边、角所在三角形全等．所以，对于角、边的关系，一定要将其置于某个载体，如两个全等三角形

中，此外，解决二次全等往往使用逆推的思路，在题1贴

士中所构造的△AMG≌△CMD所缺少的条件是AG＝

CD，通过△BGA≌△ADC来提供．

中线倍长，是初中数学几何中常见的一种添加辅助

线的方法．若题目出现中点、中线，要求证或出现

“A＝2B”，一般延长一倍的中线．如图7－7所示，通过

△ACM≌△BNM，从而实现“A＝2B”．

题4

如图7－8所示，在△ABC中，AB＝AC，BD为边AC上的高，P为线段BC边上的动点（且不与B、C两点重合），过P点分别作AB、AC边上的垂线且与AB、AC分别交于M、N两点，求证：

BD＝PM＋PN．

（1）如图7－9所示，在NP的延长线上截取PE＝PM，连接BE．

（2）由条件PE＝PM、∠MPB＝∠EPB（在．Rt△BMP与Rt△PNC中，由于∠MBP＝∠C，因此∠MPB＝∠NPC．又∠BPE与∠NPC为对顶角，因此∠MPB＝∠EPB），BP＝BP，易证△BPM≌△BPE，从而可得∠BEP＝90°

（3）因此四边形BEND为矩形，可得EN＝BD．

（4）由EN＝EP＋PN得BD＝PM＋PN．

本题是运用“补短法”，把所要求的BD＝PM＋PN中的PM“补”到PN所在的直线上，接着，只需证明四边形BEND为矩形，结合已有的两个直角，只需证明一个∠BEP＝90°

，从而便有证明△BPM≌△BPE（本分析思路仍为逆向思维，可见在证明几何问题中，逆向思维出现较多）．当然，本题还可用“截长法”（详见本专题[思维点评]）和“面积法”来做，“面积法”思路如下：

连接AP，由于△ABC为等腰三角形，再运用S△ABC＝S△ABP＋S△APC，即可得证．

题5

如图7－10所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，顶角∠A＝100°

，∠B的平分线BE交AC于E，求证：

BC＝AE＋EB．

（1）如图7－11所示，在BC上取BD＝BE，BF＝AB．

（2）由条件AB＝BF、BE＝BE、∠ABE＝∠EBC＝20°

，易证△ABE≌△FBE．

（3）因此∠BFE＝100°

'

故∠BEF＝60°

，∠EFD＝80°

（4）又由于BD＝BE，可得∠BED＝∠BDE＝80°

，∠FED＝∠BED－∠BEF＝20°

，故∠EFD＝∠EDF，EF＝ED．

（5）由于∠DEC＝180°

－∠BEA－∠BED＝40°

＝∠C，所以ED＝CD，即CD＝EF＝AE．

（6）由BC＝BD＋CD，BD＝EB，得BC＝AE＋EB．

本题运用“截长法”，把最长的BC截取题中所要求的其中一段，如BD＝BE．至于BF＝AB的出现则在于从∠B的角平分线得到启示，看到角平分线，往往意味着三角形翻折，△ABF≌△FBE也可认为两三角形翻折（相等会为全等提供可能性），并且出现等腰三角形往往还意味着存在等量代换．

题6

如图7－12所示，在正方形ABCD中，点E在DC的延长线上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°

，求证：

DE－BF＝EF．

（1）如图7－13所示，在DC上截取DG，使得DG＝BF，连接AG．

（2）由四边形ABCD是正方形，可得∠ADG＝∠ABF＝90°

，AD＝AB．

（3）又由于DG＝BF，可得△ADG≌△ABF，故∠GAD＝∠FAB，AG＝AF．

（4）∠DAB＝90°

＝∠DAG＋∠GAB＝∠BAF＋∠GAB＝∠GAF，即∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝45°

，∠GAE＝∠FAE＝45°

（5）又因为AG＝AF、AE＝AE，故△EAG≌△EAF，即得EF＝EG＝ED－GD＝DE－BF．

本题运用“截长法”，在DC上截取DG＝BF，可得△ADG≌△ABF．而在有正方形的题目中看到∠EAF，即使∠EAF≠45°

，也要反应出存在一对含该角度∠EAF的全等三角形，即题中的△EAG≌△EAF．

一般问题中出现“A＝B＋C”，且B、C不在同一直线上的形式，就可以考虑“截长补短”，即把不同的线段通过辅助线联系起来，最终得到所要求的等量关系．事实上，“截长补短”意味着两种方法：

一是“截长”（在A上截取B或C），二是“补短”（在B上延长C得A或在C上延长B得A）．这两种方法在三角形中基本上是互补的，截长补短不适用的情况主要在圆中才有体现（详见9年级与“圆”相关的专题）．

还有以下几点在证明三角形全等中需要特别注意．

（1）三角形中，大量存在“等量代换”的技巧，即使没有告诉我们“A＝B”．

（2）即使只告诉一般的三角形，通过辅助线，通过角、边的关系，中间往往会存在大量等腰三角形、等边三角形（这里隐含了“一般与特殊”的思想方法，通常联系等腰三角形、等边三角形，一般三角形的情况比较少）．

（3）相等会为全等提供可能性：

只要出现“A＝B”，A和B都属于某个三角形，通过各种方式证明A和B所在的两个三角形全等就可以解决部分问题．

再对题4的“截长法”做如下简述：

在BD上截取线段BF，使BF＝PM，可证得△BPF≌△PBM，从而得到BF＝PM，PF⊥BD，即可求得四边形PFDN为矩形，得到PN＝DF，即可得证．

题7

如图7－14所示，在△ABC中，∠ACB＝90°

，BC＝AC，D、E为AB上两点，且∠DCE＝45°

AD2＋BE2＝DE2．

（1）如图7－15所示，将△ADC绕C旋转到如图位置，则△CAD≌△CBF．

（2）由∠A＝∠ABC＝45°

，可得∠EBF＝∠ABC＋∠CBF＝∠ABC＋∠A＝90°

，故△BEF为直角三角形，且BF＝AD．

（3）又因∠ACD＋∠ECB＝45°

，且∠ACD＝∠FCB，故∠ECB＋∠FCB＝∠FCE＝45°

＝∠DCE．

（4）由DC＝CF，CE＝CE，可得△CDE≌△CFE，DE＝FE，即BE2＋AD2＝DE2．

勾股定理及其逆定理：

在△ABC中，∠C＝90°

a2＋b2＝c2（a、b为直角边，c为斜边）．根据本题结论，通过等量代换，要将AD、BE、DE置于一个直角三角形中．先由BC＝AC这一信息，想到若将△ADC进行旋转，即可得到两对全等的三角形，同时也构建出了一个直角三角形，从而通过三角形的全等，可将所求边转化到同一直角三角形中，从而得到结论．

题8

如图7－16所示，P为等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

（1）如图7－17所示，过B作∠P'

BP＝60°

，BP'

＝BP，连接P'

P、AP'

（2）由于么P'

＝BP＝4，可得P'

P＝4，∠P'

PB＝60°

（3）又因△P'

BA≌△PCA，得PC＝AP'

＝5，且AP2＋P'

P2＝AP'

2，故∠APP'

＝90°

（4）即得∠APB＝∠P'

PB＋∠APP'

＝150°

本题的考点在于3、4、5这三条边长．熟悉直角三角形性质的同学不难发现，若三角形的三边长存在3：

4：

5的关系时，此三角形便是一个直角三角形．同样常见的例子还有5：

12：

13等．因此，只要发现这类边长中存在的特殊比例关系，我们便能通过之前所学习过的三角形“平移”、“旋转”、“翻折”的一系列变化方法，得到我们所需要的答案．

题9

如图7－18所示，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC．DP⊥BC于点P，AB＋BC＝2BP．求证：

∠BAD＋∠C＝180°

（1）如图7－19所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于点E．

（2）由于BD平分∠ABC，故DE＝DP（角平分线定理），可得Rt△BED≌Rt△BPD，故BE＝BP．

（3）由于AB＋BC＝2BP，得到AB＋BP＋PC＝BP＋BE，所以AB＋PC＝BE，即得PC＝BE－AB＝AE．

（4