中考数学复习指导《三角形》经典考点专题点评文档格式.docx

1、（4）因此AMBDMC技巧贴士本题要求证的是两个角相等，一般采用证明两角所在的两个三角形全等的方法从图中观察到AMB与DMC所在的两个三角形AME与CMD显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AMCM结合本条件，加上结论，全等三角形条件有两个，因此我们想到通过添加辅助线，构造两个全等三角形AMG、CMD，从而得到AMBDMC题2如图73所示，已知在ABC中，ABAC，延长AB至D使BDAB，E为AB中点求证：CD2EC（1）如图74所示，延长CE至F使CEEF，再连接BF （2）易证ACEBFE，从而可得ACBF、CAEFBE （3）由CBDCAEACB、CBFFBEABC，可得CBD

2、CBF （4）由条件BDABACBF，BCBC，易证CBFCBD（5）因此CDCF2EC本题还可用三角形中位线定理解答（三角形中位线是指连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半）取AC的中点G，连接EG、BG，由ABAC，E、G分别为AB、AC中点，得出BECG，从而BECCGB故CEBG由中位线定理可知BGCD，所以CECD题3如图75所示，已知在ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点求证：AMEF满分解答（1）如图76所示，延长AM至N，使MNAM，连接BN （2）易证ACMNBM，从而可得ACBNBC （3）由ABCACBBAC180，可得ABC

3、NBCBAC180，即ABNBAC180 （4）再由EAFEABBACCAF360，得到EAFBAC180，即ABNEAF （5）结合条件EAAB，BNCAAF，易证ABNEAF （6）因此EFAN2AM，即AMEF已知条件中出现了中点以及AMEF形式，这暗示了可使用“中线倍长”的方法通过将中线AM延长一倍后，证明ANEF，找到AN、EF所在的ABN、EAF，证明两个三角形全等即可思维点评 二次全等，就是通过两次三角形全等，解决题目中涉及的角度、线段间的关系7年级学习了全等三角形，自然全等三角形是一种手段与工具它能用于证明角、边的等量关系，因此证明边、角相等，往往就是证明边、角所在三角形全等所

4、以，对于角、边的关系，一定要将其置于某个载体，如两个全等三角形中，此外，解决二次全等往往使用逆推的思路，在题1贴士中所构造的AMGCMD所缺少的条件是AGCD，通过BGAADC来提供 中线倍长，是初中数学几何中常见的一种添加辅助线的方法若题目出现中点、中线，要求证或出现“A2B”，一般延长一倍的中线如图77所示，通过ACMBNM，从而实现“A2B”题4如图78所示，在ABC中，ABAC，BD为边AC上的高，P为线段BC边上的动点（且不与B、C两点重合），过P点分别作AB、AC边上的垂线且与AB、AC分别交于M、N两点，求证：BDPMPN（1）如图79所示，在NP的延长线上截取PEPM，连接BE

5、 （2）由条件PEPM、MPBEPB（在RtBMP与RtPNC中，由于MBPC，因此MPBNPC又BPE与NPC为对顶角，因此MPBEPB），BPBP，易证BPMBPE，从而可得BEP90 （3）因此四边形BEND为矩形，可得ENBD（4）由ENEPPN得BDPMPN本题是运用“补短法”，把所要求的BDPMPN中的PM“补”到PN所在的直线上，接着，只需证明四边形BEND为矩形，结合已有的两个直角，只需证明一个BEP90，从而便有证明BPMBPE（本分析思路仍为逆向思维，可见在证明几何问题中，逆向思维出现较多）当然，本题还可用“截长法”（详见本专题思维点评）和“面积法”来做，“面积法”思路如下

6、：连接AP，由于ABC为等腰三角形，再运用SABCSABPSAPC，即可得证题5如图710所示，在等腰ABC中，ABAC，顶角A100，B的平分线BE交AC于E，求证：BCAEEB（1）如图711所示，在BC上取BDBE，BFAB（2）由条件ABBF、BEBE、ABEEBC20，易证ABEFBE（3）因此BFE100故BEF60，EFD80 （4）又由于BDBE，可得BEDBDE80，FEDBEDBEF20，故EFDEDF，EFED （5）由于DEC180BEABED40C，所以EDCD，即CDEFAE （6）由BCBDCD，BDEB，得BCAEEB本题运用“截长法”，把最长的BC截取题中所要

7、求的其中一段，如BDBE至于BFAB的出现则在于从B的角平分线得到启示，看到角平分线，往往意味着三角形翻折，ABFFBE也可认为两三角形翻折（相等会为全等提供可能性），并且出现等腰三角形往往还意味着存在等量代换题6如图712所示，在正方形ABCD中，点E在DC的延长线上，点F在CB的延长线上，EAF45，求证：DEBFEF（1）如图713所示，在DC上截取DG，使得DGBF，连接AG （2）由四边形ABCD是正方形，可得ADGABF90，ADAB （3）又由于DGBF，可得ADGABF，故GADFAB，AGAF （4）DAB90DAGGABBAFGABGAF，即GAEGAFEAF45，GAEF

8、AE45 （5）又因为AGAF、AEAE，故EAGEAF，即得EFEGEDGDDEBF本题运用“截长法”，在DC上截取DGBF，可得ADGABF而在有正方形的题目中看到EAF，即使EAF45，也要反应出存在一对含该角度EAF的全等三角形，即题中的EAGEAF 一般问题中出现“ABC”，且B、C不在同一直线上的形式，就可以考虑“截长补短”，即把不同的线段通过辅助线联系起来，最终得到所要求的等量关系事实上，“截长补短”意味着两种方法：一是“截长”（在A上截取B或C），二是“补短”（在B上延长C得A或在C上延长B得A）这两种方法在三角形中基本上是互补的，截长补短不适用的情况主要在圆中才有体现（详见9

9、年级与“圆”相关的专题） 还有以下几点在证明三角形全等中需要特别注意 （1）三角形中，大量存在“等量代换”的技巧，即使没有告诉我们“AB” （2）即使只告诉一般的三角形，通过辅助线，通过角、边的关系，中间往往会存在大量等腰三角形、等边三角形（这里隐含了“一般与特殊”的思想方法，通常联系等腰三角形、等边三角形，一般三角形的情况比较少） （3）相等会为全等提供可能性：只要出现“AB”，A和B都属于某个三角形，通过各种方式证明A和B所在的两个三角形全等就可以解决部分问题 再对题4的“截长法”做如下简述：在BD上截取线段BF，使BFPM，可证得BPFPBM，从而得到BFPM，PFBD，即可求得四边形P

10、FDN为矩形，得到PNDF，即可得证题7如图714所示，在ABC中，ACB90，BCAC，D、E为AB上两点，且DCE45AD2BE2DE2（1）如图715所示，将ADC绕C旋转到如图位置，则CADCBF （2）由AABC45，可得EBFABCCBFABCA90，故BEF为直角三角形，且BFAD （3）又因ACDECB45，且ACDFCB，故ECBFCBFCE45DCE （4）由DCCF，CECE，可得CDECFE，DEFE，即BE2AD2DE2勾股定理及其逆定理：在ABC中，C90a2b2c2（a、b为直角边，c为斜边）根据本题结论，通过等量代换，要将AD、BE、DE置于一个直角三角形中先由

11、BCAC这一信息，想到若将ADC进行旋转，即可得到两对全等的三角形，同时也构建出了一个直角三角形，从而通过三角形的全等，可将所求边转化到同一直角三角形中，从而得到结论题8如图716所示，P为等边ABC内一点，若AP3，PB4，PC5，求APB的度数（1）如图717所示，过B作PBP60，BPBP，连接PP、AP （2）由于么PBP4，可得PP4，PPB60 （3）又因PBA PCA，得PCAP5，且AP2PP2AP2，故APP90（4）即得APBPPBAPP150本题的考点在于3、4、5这三条边长熟悉直角三角形性质的同学不难发现，若三角形的三边长存在3：4：5的关系时，此三角形便是一个直角三角形同样常见的例子还有5：12：13等因此，只要发现这类边长中存在的特殊比例关系，我们便能通过之前所学习过的三角形“平移”、“旋转”、“翻折”的一系列变化方法，得到我们所需要的答案题9如图718所示，在四边形ABCD中，BD平分ABCDPBC于点P，ABBC2BP求证：BADC180（1）如图719所示，过点D作DEBA交BA延长线于点E （2）由于BD平分ABC，故DEDP（角平分线定理），可得RtBEDRtBPD，故BEBP （3）由于ABBC2BP，得到ABBPPCBPBE，所以ABPCBE，即得PCBEABAE （4