完整版高考数学专题导数题的解题技巧Word文档格式.docx
《完整版高考数学专题导数题的解题技巧Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版高考数学专题导数题的解题技巧Word文档格式.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
例1.(2007年北京卷)f(x)是f(x)x32x1的导函数,则f
(1)的值是.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
22
[解答过程]Qf(x)x22,f
(1)123.
故填3.
例2.(2006年湖南卷)设函数f(x)xa,集合M={x|f(x)0},P={x|f'
(x)0},若MP,则实x1
数a的取值范围是()
A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由xa0,当a>
1时,1xa;
当a<
1时,ax1.x1
/
xax1xa
2
1
a1.综上可得MP时,a1.考点2曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)切线的斜率.
(2)
关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线典型例题
极值点.
I)求a24b的最大值;
II)当a24b8时,设函数yf(x)在点A(1,f
(1))处的切线为l,若l在点A处穿过
函数yf(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动,经过点A时,从l的一侧
进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
思路启迪:
用求导来求得切线斜率.
1312解答过程:
(I)因为函数f(x)x3ax2bx在区间[1,1),(1,3]内分别有一个极值点,
32
所以f(x)x2axb0在[1,1),(1,3]内分别有一个实根,
设两实根为x1,x2(x1x2),则x2x1a24b,且0x2x1≤4.于是
0a24b≤4,0a24b≤16,且当x11,x23,即a2,b3时等号
成立.故a24b的最大值是16.
(II)解法一:
由f
(1)1ab知f(x)在点(1,f
(1))处的切线l的方程是21
yf
(1)f
(1)(x1),即y(1ab)xa,
因为切线l在点A(1,f(x))处空过yf(x)的图象,
21
所以g(x)f(x)[(1ab)xa]在x1两边附近的函数值异号,则
x1不是g(x)的极值点.
而g(x)1x
12ax
bx(1
ab)x
1a,且
3
g(x)x2ax
b(1
ab)
x2ax
a
1(x1)(x1a)
因为切线l在点A(1,f
(1))处穿过yf(x)的图象,所以g(x)在x1两边附近的函数值异号,于是存在m1,m2(m11m2).
当m1x
1时,
g(x)0,当
1x
m2时,g(x)0;
或当m1
x1时,
g(x)0,
当1
xm2时,g(x)0
3a
设h(x)
x21
x2
,则
h(x)0,当
m2时,h(x)0;
h(x)0,
xm2时,h(x)0.
由h
(1)0知x1是h(x)的一个极值点,则h
(1)2110,
2所以a2,又由a24b8,得b1,故f(x)1x3x2x.
例4(.2006年安徽卷)若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直,则l的方程为()
A.4xy30B.x4y50
C.4xy30D.x4y30
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线x4y80垂直的直线l为4xym0,即yx4在某一点的导数为4,而y4x3,所以yx4在(1,1)处导数为4,此点的切线为4xy30.
故选A.
例5.(2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+5=0相切的直线的方程为()
1111
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力
求出此时公切线的方程
思路启迪
:
先对C1
:
yx2x,C2:
y
2x
a求导数.
解答过程
函数y
x22x的导数为y'
2x
2,
曲线
C1在点
P(x1,x122x1)处的切线方程为
y(x12
2x1)2(x1
2)(xx1),即y
2(x1
1)x
2x1
①
曲线C1在点Q(x2,
x22a)的切线方程是
y
(x2
a)
2x2(x
x2)即
若直线l是过点
y2x2xx2a
P点和Q点的公切线,则①式和②式都是l的方程,故得
导数是研究函数性质的重要而
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,
进而与不等式的证明,讨论方程解
.复习时,应高度重视以下问题
5.构造函数证明不等式
有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法
解答过程:
(Ⅰ)f(x)6x26ax3b,
因为函数f(x)在x1及x2取得极值,则有f
(1)0,f
(2)0.
66a3b0,
即
2412a3b0.
解得a3,b4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)2x39x212x8c,
f(x)6x218x126(x1)(x2).
当x(0,1)时,f(x)0;
当x(1,2)时,f(x)0;
当x(2,3)时,f(x)0.
所以,当x1时,f(x)取得极大值f
(1)58c,又f(0)8c,f(3)98c.
则当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)98c.
因为对于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立,
所以98cc2,
解得c1或c9,
因此c的取值范围为(,1)U(9,).
例9.函数y2x4x3的值域是.
求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
由2x40得,x2,即函数的定义域为[2,).
x30
112x32x4,
02.
(1)当时cos0,判断函数fx是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数的取值范围;
(3)若对
(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数fx在区间2a1,a内都是增函数,
求实数a的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础
知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当cos0时,f(x)4x3,则f(x)在(,)内是增函数,故无极值.
(Ⅱ)f'
(x)12x26xcos,令f'
(x)0,得x10,x2cos.
122由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当cos0时,随x的变化f'
(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:
x
(,0)
cos
(0,co2s)
(2,
)
f'
(x)
+
-
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
因此,函数f(x)在xcos处取得极小值f(cos),且f(cos)1cos33
222416
3)0,可得0cos3.
42
11.
6
0.矛盾.所以当cos0时,f(x)的极小值不会大于零
要使f(cos)0,必有1cos(cos2
24
(,cos)
(co2s,0)
(0,)
Z
]
由于0cos3,故或3
2622
②当时cos0,随x的变化,f'
(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:
因此,函数f(x)在x若f(0)0,则cos
0处取得极小值f(0),且f(0)3cos
16
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数f(x)的定义域为(1,),且f'
(x)ax1(a1),x1
(1)当1a0时,f'
(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递减,
(2)当a0时,由f'
(x)0,解得x1.
f'
(x)、f(x)随x