完整版高考数学专题导数题的解题技巧Word文档格式.docx

1、例 1（ 2007 年 北京卷） f （x） 是 f （x） x3 2x 1 的导函数，则 f （ 1） 的值是 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 .22 解答过程 Q f （x） x2 2, f （ 1） 1 2 3.故填 3.例2. （ 2006 年湖南卷）设函数 f（x） x a,集合 M=x|f（x） 0 ,P= x| f （x） 0,若 M P,则实 x1数 a 的取值范围是 （ ）A.（- ,1） B.（0,1） C.（1,+ ） D. 1,+ ） 考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 . 解答过程 由 x a 0, 当 a1时 ,1 x

2、 a;当a1时,a x 1. x1/x a x 1 x a21a 1. 综上可得 M P 时 , a 1. 考点 2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f（x） 在某一点 P（ x,y） 切线的斜率 .（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线 典型例题极值点I）求 a2 4b 的最大值；II）当a2 4b 8时，设函数 y f（x）在点 A（1， f （1）处的切线为 l，若l在点 A处穿过函数y f （x）的图象（即动点在点 A附近沿曲线 y f （ x）运动，经过点 A时，从 l的一侧进入另一侧） ，求函数 f（x） 的表达式思路启迪

3、 ：用求导来求得 切线斜率 .1 3 1 2 解答过程：（ I ）因为函数 f （x） x3 ax2 bx在区间 1，1） ，（1，3内分别有一个极值点，32所以 f （x） x2 ax b 0在 1，1）， （1，3内分别有一个实根，设两实根为 x1，x2（ x1 x2），则 x2 x1 a2 4b，且 0 x2 x1 4于是0 a2 4b4，0 a2 4b 16 ，且当 x1 1，x2 3，即 a 2，b 3时等号成立故 a2 4b 的最大值是 16（II ）解法一：由 f （1） 1 a b知 f （x）在点（1，f （1）处的切线 l的方程是 21y f（1） f （1）（x 1） ，

4、即 y （1 a b）x a ，因为切线 l 在点 A（1，f （ x）处空过 y f （ x）的图象，21所以 g（x） f（x） （1 a b）x a在 x 1两边附近的函数值异号，则x 1不是 g（x） 的极值点而 g（x） 1 x12 axbx （1a b）x1 a ，且3g （x） x2 axb （1a b）x2 axa1 （x 1）（x 1 a）因为切线 l在点 A（1， f （1）处穿过 y f （x）的图象，所以 g（x）在x 1两边附近的函数值 异号，于是存在 m1， m2 （ m1 1 m2 ）当 m1 x1时，g（x） 0，当1xm2时， g（x） 0 ；或当 m1x 1

5、 时，g（x） 0 ，当1x m2 时， g（x） 03a设 h（x）x2 1x2，则h（x） 0 ，当m2 时， h（x） 0 ；h（x） 0 ，x m2 时， h（x） 0 由 h（1） 0 知 x 1是 h（x） 的一个极值点，则 h（1） 2 1 1 0 ，2 所以 a 2，又由 a2 4b 8，得 b 1，故 f（x） 1x3 x2 x例 4（. 2006 年安徽卷） 若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0垂直，则 l 的方程为（ ）A 4x y 3 0 B x 4y 5 0C 4x y 3 0 D x 4y 3 0 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基

6、础知识的应用能力 .解答过程 与直线 x 4y 8 0垂直的直线 l为 4x y m 0，即 y x4在某一点的导数为 4，而 y 4x3 ，所以 y x 4在（1， 1）处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0.故选 A.例 5 （ 2006 年重庆卷 ）过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2y+ 5 =0 相切的直线的方程为 （ ）1 1 1 1A.y=-3x或 y= x B. y=-3x或 y=- x C.y=-3x或y=- x D. y=3x或y= x 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力求出此时公切线的方程思路启迪：先对 C1: y x 2x,

7、C2 : y2 xa 求导数 .解答过程 函数 yx2 2x 的导数为 y2x2，曲线C1 在点P（ x1, x12 2x1）处的切线方程为y （x122x1 ） 2（x12）（x x1） ，即 y2（x11）x2 x1曲线 C1 在点 Q（x2 ,x22 a） 的切线方程是y（ x2a）2x2（xx2）即若直线 l 是过点y 2x2x x2 aP 点和 Q 点的公切线，则式和式都是 l 的方程，故得导数是研究函数性质的重要而中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，进而与不等式的证明， 讨论方程解.复习时，应高度重视以下问题5.构造函数证明不等式有力的工具，特别是对于函数的单调性，以

8、“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我 们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法， 的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法解答过程：（） f （x） 6x2 6ax 3b ，因为函数 f（x） 在x 1及x 2取得极值，则有 f （1） 0， f （2） 06 6a 3b 0，即24 12a 3b 0解得 a 3， b 4（）由（）可知， f（x） 2x3 9x2 12x 8c ，f （x） 6x2 18x 12 6（x 1）（x 2） 当 x （0，1） 时， f （x） 0 ；当 x （1，2） 时， f （x） 0 ；当 x （2，3） 时， f （x） 0 所

9、以，当 x 1时， f（x）取得极大值 f （1） 5 8c，又 f （0） 8c， f（3） 9 8c则当 x 0，3 时， f （x） 的最大值为 f （3） 9 8c 因为对于任意的 x 0，3 ，有 f （x） c2 恒成立，所以 9 8c c2 ，解得 c 1或c 9 ，因此 c的取值范围为 （ ， 1） U （9， ） 例 9.函数 y 2x 4 x 3 的值域是 .求函数的值域， 是中学数学中的难点， 一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解， 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法 求解较为容易。 由 2x 4 0得， x 2 ，即函数的定

10、义域为 2, ）.x301 1 2 x 3 2x 4 ，0 2 （1）当时 cos 0 ，判断函数 f x 是否有极值；（2）要使函数 f （x） 的极小值大于零，求参数 的取值范围；（3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 f x 在区间 2a 1,a 内都是增函数，求实数 a 的取值范围 考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法 .解答过程 （）当 cos 0时， f（x） 4x3，则 f（x） 在（ , ） 内是增函数，故无极值 .（） f （x） 12x2 6xcos

11、，令 f （x） 0，得 x1 0,x2 cos .1 2 2 由（），只需分下面两种情况讨论 .当 cos 0时，随 x 的变化 f （x） 的符号及 f（x） 的变化情况如下表：x（ ,0）cos（0,co2s ）（2,）f （x）+-f（x）极大值极小值因此，函数 f（x）在 x cos 处取得极小值 f（cos ），且 f（cos ） 1cos3 32 2 2 4 163） 0，可得 0 cos 3.4211 .60.矛盾 .所以当 cos 0 时， f（x） 的极小值不会大于零要使 f （cos ） 0，必有 1cos （cos224（ ,cos ）（co2s ,0）（0, ）Z由于

12、 0 cos 3 ，故 或 32 6 2 2当时 cos 0，随 x的变化， f （x）的符号及 f （x）的变化情况如下表：因此，函数 f （x）在 x 若 f （0） 0 ，则 cos0 处取得极小值 f （0） ，且 f （0） 3 cos16例 11（2006 年山东卷 ）设函数 f（x）=ax（a+1）ln（x+1），其中 a -1，求 f（x）的单调区间 考查目的 本题考查了函数的导数求法 ,函数的极值的判定 ,考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力解答过程 由已知得函数 f （ x）的定义域为 （ 1, ），且 f （x） ax 1（a 1）, x1（1）当 1 a 0时， f（x） 0,函数 f（x） 在（ 1, ）上单调递减，（2）当 a 0 时，由 f （x） 0,解得 x 1.f（x）、 f（x）随 x