高中数学人教a版选修23习题 第2章 随机变量及其分布232 含答案Word下载.docx

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p＝p，易知X服从两点分布，∴D（X）＝p（1－p）．

3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E（η）＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为

ξ

1

2

3

4

P

m

n

A．

B．

C．

D．

[答案]　A

[解析]　∵E（η）＝E（10ξ＋2）＝10E（ξ）＋2＝20，

∴E（ξ）＝1.8

即：

1×

＋2m＋3n＋4×

＝1.8，

∴2m＋3n＝

①

又m＋n＝1－

－

＝

②

由①②得，m＝

.

4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定

表一

0.7

0.2

0.1

表二

0.6

A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同D．无法判定

[答案]　B

[解析]　由分布列可求甲的次品数期望为E（ξ）＝0.7，乙的次品数期望为E（η）＝0.7，进而得D（ξ）＝（0－0.7）2×

0.7＋（1－0.7）2×

0＋（2－0.7）2×

0.2＋（3－0.7）2×

0.1＝1.21，D（η）＝（0－0.7）2×

0.6＋（1－0.7）2×

0.2＋（2－0.7）2×

0.1＋（3－0.7）2×

0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．

5．随机变量X～B（100,0.2），那么D（4X＋3）的值为

A．64B．256

C．259D．320

[解析]　由X～B（100,0.2）知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D（X）＝np（1－p）＝100×

0.2×

0.8＝16，因此D（4X＋3）＝42D（X）＝16×

16＝256，故选B．

6．已知X的分布列如下表：

X

－1

a

b

c

且a、b、c成等比数列，E（X）＝

，则a＝

[解析]　由分布列的性质得a＋b＋c＝

∵E（X）＝

，∴－a＋c＋

，

∴a－c＝

，②

又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③

将②代入①、③得，

由④得b＝

－2a，代入⑤得，a＝

或a＝

当a＝

时，a＋

>

0，不合题意舍去，∴a＝

二、填空题

7．（2016·

海口高二检测）已知随机变量X～B（4，p），若E（X）＝2，则D（X）＝________.

[答案]　1

[解析]　随机变量X服从二项分布X～B（4，p），E（X）＝2，

∴4p＝2，∴p＝

∴D（X）＝4p（1－p）＝1，故答案为1.

8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P（ξ＝0）＝

，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝________.

[答案]　

[解析]　设ξ＝1的概率为p.

则E（ξ）＝0×

＋1×

p＋2（1－p－

）＝1，

故D（ξ）＝（0－1）2×

＋（1－1）2×

＋（2－1）2×

9．（2016·

枣庄市高二检测）抛掷一枚均匀硬币n（3≤n≤8）次，正面向上的次数ξ服从二项分布B（n，

），若P（ξ＝1）＝

，则方差D（ξ）＝________.

[解析]　∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B（n，

），且P（ξ＝1）＝

，∴C

）n－1·

（1－

）＝

即n·

）n＝

，解得n＝6，

∴方差D（ξ）＝np（1－p）＝6×

×

三、解答题

10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？

（结论不要求证明）

[解析]　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1,2，…，13），

根据题意，P（Ai）＝

，且Ai∩Aj＝∅（i≠j）．

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，

所以P（B）＝P（A5∪A8）＝P（A5）＋P（A8）＝

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且

P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）

＝P（A3）＋P（A6）＋P（A7）＋P（A11）＝

P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13）

＝P（A1）＋P（A2）＋P（A12）＋P（A13）＝

P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝

所以X的分布列为：

故X的期望E（X）＝0×

＋2×

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

1．（2016·

泰安高二检测）设ξ是离散型随机变量，P（ξ＝x1）＝

，P（ξ＝x2）＝

，且x1<

x2，又已知E（ξ）＝

，D（ξ）＝

，则x1＋x2的值为

C．3D．

[解析]　由E（ξ）＝

得，

解之得，

或

∵x1<

x2，∴

∴x1＋x2＝3.

2．随机变量X的分布列如下：

0.5

x

y

若E（X）＝

，则D（X）等于

[解析]　由题意知，

∴

∴D（X）＝（1－

）2×

＋（2－

＋（3－

3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：

9

已知E（ξ）＝6.3，随机变量η～B（a，b），则D（η）＝________.

[答案]　1.68

[解析]　由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，

∵E（ξ）＝4×

0.5＋0.1×

a＋9×

0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，

∵η～B（a，b），即η～B（7,0.4），

∴D（η）＝7×

0.4×

（1－0.4）＝1.68.

4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________.

[答案]　10.5、10.5

[解析]　由题意得

＝10.5，∴a＋b＝21，

＝10，

∴s2＝

[（10－2）2＋（10－3）2＋（10－3）2＋（10－7）2＋（10－a）2＋（10－b）2＋（10－12）2＋（10－13.7）2＋（10－18.3）2＋（10－20）2]

[82＋72＋72＋32＋（10－a）2＋（10－b）2＋4＋3.72＋8.32＋102]

[（10－a）2＋（10－21＋a）2＋…]

[2（a－10.5）2＋…]

当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5.

5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.

（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是

，答对每道乙类题的概率都是

，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

[解析]　

（1）设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，

则有

＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

因为P（

，所以P（A）＝1－P（

（2）X所有的可能取值为0、1、2、3.

P（X＝0）＝C

）0·

）2·

；

P（X＝1）＝C

）1·

＋C

（

P（X＝2）＝C

P（X＝3）＝C

所以E（X）＝0×

＋3×

＝2.

6．（2016·

山师附中高二检测）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．（如：

落在区间[10,15）内的频率/组距为0.0125）规定分数在[10,20）、[20,30）、[30,40）上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.

（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；

（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；

（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．

[解析]　

（1）由频率分布直方图知：

（0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×

0.0125）×

5＝1，∴a＝0.0250.

其中为一级运动员的概率为（0.0125＋0.0375）×

5＝0.25，

∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×

16＝4人．

（2）由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，

P（X＝0）＝

P（X＝1）＝

P（X＝2）＝

P（X＝3）＝

∴X的分布列为

（3）由已知得Y～B（3，

），

∴E（Y）＝np＝3×

∴含有一级运动员人数Y的期望为