勾股定理练习题及解析Word下载.docx

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A．3B．5C．4或5D．3或51

8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：

“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？

”意思是：

一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？

（1丈＝10尺）（）

A．3B．5C．4.2D．4

9．在直角三角形

中，

，两直角边长及斜边上的高分别为

，则下列关系式成立的是（）

B．

C．

D．

10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边

，现将

折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（）

A．7B．

C．6D．

二、填空题

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm．

12．如图，点E在

边DB上，点A在

内部，∠DAE＝∠BAC＝90°

，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）

①BD＝CE；

②∠DCB＝∠ABD＝45°

；

③BD⊥CE；

④BE2＝2（AD2+AB2）．

13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．

14．已知，如图：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．

15．在

，以

为斜边作等腰直角

，连接

，若

，

，则

的长为______．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．

17．如图，在

垂直平分

，垂足为

，且

18．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．

19．在

，点

是

中点，点

在

上，

，将

沿着

翻折，点

的对应点是点

，直线

与

交于点

，那么

的面积

__________．

20．观察：

①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：

______．

三、解答题

21．在等边

中，点

是线段

的中点，

与线段

相交于点

与射线

．

如图1，若

求

的长；

如图2，将

中的

绕点

顺时针旋转一定的角度，

仍与线段

．求证：

如图3，将

继续绕点

顺时针旋转一定的角度，使

的延长线交于点

作

于点

设

，写出

关于

的函数关系式．

22．定义：

有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°

，∠BAC=40°

，∠ACD=∠ADC=80°

，求证：

四边形ABCD是邻和四边形．

（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．

（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°

，AB=2，BC=2

，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．

23．已知

中，如果过项点

的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为

的关于点

的二分割线．例如：

如图1，

，若过顶点

的一条直线

交

，显然直线

的二分割线．

（1）在图2的

．请在图2中画出

关于点

的二分割线，且

角度是；

（2）已知

，在图3中画出不同于图1，图2的

，所画

同时满足:

①

为最小角；

②存在关于点

的度数是；

（3）已知

同时满足：

的二分割线．请求出

的度数（用

表示）．

24．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在

边上的中线，

的“广益值”就等于

的值，可记为

（1）在

中，若

，求

的值．

（2）如图2，在

（3）如图3，在

和

的长．

25．

分别是边

上的动点，在图中画出

值最小时的图形，并直接写出

的最小值为.

26．如图，在

.

（1）如图1，点

在边

的面积.

（2）如图2，点

上，过点

，连结

，过点

.求证：

27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点

、

，其两点间的距离

，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为

或

（1）已知

，试求A、B两点间的距离______.

已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为

，你能判定此三角形的形状吗?

说明理由．

（3）在

（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使

的长度最短，求出点P的坐标及

的最短长度．

28．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：

设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝

（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为　　；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2

+4

）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4

m，∠A＝60°

，求该块草地的面积．

29．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：

CE＝

DE；

（3）如图3，若m＝4

，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

30．已知

是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD

，求AD的长；

如图2，以AD为边作

，分别交AB，AC于点E，F．

小明通过观察、实验，提出猜想：

在点D运动的过程中，始终有

，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：

利用AD是

的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：

的角平分线，构造

的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明

一种方法即可

小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：

四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系

若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

1．B

解析：

B

【分析】

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【详解】

解：

根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：

（1）沿

剪开，得图

（2）沿

（3）沿

综上所述，最短路径应为

（1）所示，所以

，即

故选：

B．

【点睛】

此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．

2．D

D

由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由

的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．

∵

又∵

∴

∴△ABC为直角三角形

D．

本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；

求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．

3．C

C

观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知

=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

由于大正方形的