弹性力学简明教程第二章-2.10PPT文档格式.ppt
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a.相同的边界形状,b.受同样分布的外力,则不管两个弹性体的材料是否相同,也不管是在平面应力还是平面应变情况下,应力分量的分布都是相同的。
应用:
a.用实验方法量测结构的应力分量时;
b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。
c.在常体力情况下,对于单连体的应力边,界问题,还可以把体力的作用改换为面力的作用,以便解答问题和实验量测。
设原问题中应力分量满足:
(a),(b),(c),(d),比较(a),(b),(c),(d),得到满足:
体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了和的应力边界条件。
于是得到求解原问题的办法:
先不计体力,而对弹性体施加代替体力的面力分量和,求出以后,再在和上叠加上和,即得原问题的应力分量。
例如:
如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。
先不计体力,而施以代替体力的面力。
C,A,B,D,E,F,h,h,C,A,B,D,E,F,2ph,ph,x,y,x,y,p,二.应力函数,为非齐次偏微分方程组,结论:
当体力为常量时,按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-2)平及(2-22)容求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边及位移单值条件。
研究(2-2)平及(2-22)容的求解,(222),1.对应的齐次偏微分方程的通解,所以,必存在一个具有全微分的函数A(x,y),根据微分方程解的理论,(22)平的解由两部分组成:
通解及其一个特解。
由第一式有,全微分充要条件,由第二式有:
(a),(b),(d),(c),同理:
根据全微分充要条件,同样存在另一个函数B(x,y),比较(a)(d)两式,对应的齐次偏微分方程的通解:
平面应力函数(Airy应力函数),同理可以找到一个函数(x,y),有,2.非齐次方程特解,3.平衡方程的解,(2-23),将(2-23)代入(2-22)容,(2-22)容,可记为:
或,这里(x,y)为双调和函数,注:
满足,的函数称调和函数,展开后:
(224),结论:
1.当应力函数为满足双调和方程的双调和函数时(223)可以同时满足(2-2)平及(2-22)容,故(223)为(2-2)平及(2-22)容的解。
(224)为用应力函数表示的相容方程。
2.当体力为常量时,按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-24)容求出应力函数,然后由平衡方程的解(223)求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边,及位移单值条件(多连体时)。
多连体的位移单值条件,单连体:
具有一个连续的边界。
多连体:
具有两个以上互不相交的连续的边界。
位移单值条件:
一点处的位移是单值的。
*按应力求解时,对于多连体,要利用位移单值条件,才能完全确立应力分量。
例题,解:
1.满足平衡微分方程,将x=y=-q,xy=0代入,故满足平衡方程,条件,也满足位移单值条件,是问题的解。
任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q,试证明:
满足平衡方程、相容方程和应力边界,2.满足相容方程,3.满足边界条件:
将x=y=-q,xy=0代入,自然满足,4.位移单值条件:
2)求位移:
满足,1)求应变:
代入(3)得,于是有:
由
(1)式积分,由
(2)式积分,由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方程、且在边界上满足应力边界条件,对于多连通域满足位移单值条件,故为问题的解。
积分:
上式为线性函数,为单值函数。
1、平衡微分方程,(2-2),公式,2、相容方程,3、应力边界条件,(2-22),(2-15),