平面向量重难点解析文档格式.docx

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若,,则,

3、零向量、单位向量:

①长度为0得向量叫零向量,记为;

②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、（注:

就就是单位向量）

4、平行向量:

①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;

②我们规定与任一向量平行、向量、、平行，记作∥∥、共线向量与平行向量关系:

平行向量就就是共线向量、

性质：

就是唯一）

　　　　　　　（其中　）

５、相等向量与垂直向量:

①相等向量:

长度相等且方向相同得向量叫相等向量、

②垂直向量——两向量得夹角为

性质:

　　　（其中　）

6、向量得加法、减法:

①求两个向量与得运算,叫做向量得加法。

向量加法得三角形法则与平行四边形法则。

平行四边形法则:

（起点相同得两向量相加,常要构造平行四边形）

三角形法则

——加法法则得推广:

……

即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有……

②向量得减法向量加上得相反向量,叫做与得差。

即：

　-=+　（-）;

差向量得意义:

=,=,则=-

③平面向量得坐标运算：

若,,则，,。

④向量加法得交换律:

＋=+;

向量加法得结合律：

（+）+=+（+）

⑤常用结论:

（1）若,则D就是AB得中点

（2）或G就是△ABC得重心,则

７．向量得模:

1、定义:

向量得大小，记为｜|或||

2、模得求法:

若,则||

若,则||

3、性质:

（１）；

　（实数与向量得转化关系）

（2），反之不然

（3）三角不等式:

（4）（当且仅当共线时取“=”）

即当同向时，；

　　即当同反向时　，

（5）平行四边形四条边得平方与等于其对角线得平方与,

即

８.实数与向量得积:

实数λ与向量得积就是一个向量,记作:

λ

（1）|λ｜=｜λ|||；

（2）λ＞0时λ与方向相同;

λ<

0时λ与方向相反;

λ=0时λ=;

（3）运算定律λ（μ）=（λμ），（λ＋μ）=λ+μ,λ（+）=λ+λ

交换律:

分配律：

　（）·

＝（·

）=·

（）;

——①不满足结合律：

②向量没有除法运算。

如:

都就是错误得

（4）已知两个非零向量,它们得夹角为,则

=

坐标运算：

则

（５）向量在轴上得投影为:

︱︱,（为得夹角,为得方向向量）

其投影得长为（为得单位向量）

（6）得夹角与得关系：

（1）当时,同向;

当时,反向

（2）为锐角时,则有;

为钝角时,则有

９.向量共线定理:

向量与非零向量共线（也就是平行）得充要条件就是:

有且只有一个非零实数λ,使=λ。

10.平面向量基本定理:

如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2。

（1）不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量得一组基底；

（2）基底不惟一,关键就是不共线；

（3）由定理可将任一向量在给出基底、得条件下进行分解;

（4）基底给定时,分解形式惟一、λ1，λ2就是被,，唯一确定得数量。

向量坐标与点坐标得关系:

当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A（x,y）,则=（x,ｙ）；

当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A（x1,y1）,B（x2,ｙ2）,则=（x2-x１,y2-ｙ1）

11、向量与得数量积:

①·

=｜　|·

||cｏs,其中∈［0,π]为与得夹角。

②｜|cｏｓ称为在得方向上得投影。

③·

得几何意义就是:

得长度||在得方向上得投影得乘积，就是一个实数（可正、可负、也可就是零）,而不就是向量。

④若=（,），=（x2,），则

⑤运算律:

ａ·

　ｂ=b·

ａ，　（λａ）·

b＝a·

（λb）＝λ（a·

b）,（a+b）·

c=a·

c＋ｂ·

c。

⑥与得夹角公式:

cｏｓ==

⑦｜|２=ｘ2＋y２,或｜|=⑧｜a·

b|≤｜ａ|·

｜b|。

１2、两个向量平行得充要条件:

符号语言：

若∥,≠,则＝λ

坐标语言为:

设=（ｘ1,ｙ1）,＝（x２,y2）,则∥（ｘ1,y1）=λ（x2，y2）,即,或x1y2－ｘ2y1=０

在这里，实数λ就是唯一存在得,当与同向时，λ>

0；

当与异向时,λ<

０。

|λ｜=,λ得大小由及得大小确定。

因此,当，确定时,λ得符号与大小就确定了。

这就就是实数乘向量中λ得几何意义。

13、两个向量垂直得充要条件:

⊥·

=0

坐标语言：

设=（ｘ1,y1），＝（x2,ｙ2）,则⊥x1x２+y1y2=０

【典型例题】

例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与得夹角为4５0,||＝5,用,表示。

解题思路分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在，方向上进行分解,如图,设=λ,＝μ,λ>

0,μ>

则=λ+μ

∵||=|｜=1

∴λ=||,μ=｜｜

△OEC中，∠E=600,∠OCＥ=7５0,由得:

∴

说明:

用若干个向量得线性组合表示一个向量，就是向量中得基本而又重要得问题,通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△AＢC中,A（２,-1）,B（3,2）,C（－3,-1）,BＣ边上得高为AD,求点D与向量坐标。

解题思路分析：

用解方程组思想

设D（x，y）,则＝（ｘ-2,y＋1）

∵=（-６，-3）,·

＝0

∴-6（x-２）－3（ｙ+1）=0,即2x＋y-3=0　　　①

∵=（x-3，y－2），∥

∴－6（y-２）=-3（x-3）,即x-2y+1=０　②

由①②得:

∴D（1,1），=（-１,2）

例3、求与向量=，-1）与=（1,）夹角相等，且模为得向量得坐标。

法一：

设＝（x,y）,则·

＝x-ｙ,·

＝x+y

∵<

>

=＜，>

即　　　①

又||=

∴x２+ｙ2=2　　　　②

由①②得或（舍）

∴＝

法二:

从分析形得特征着手

∵||=||=2

·

∴　△AOB为等腰直角三角形,如图

∵　||=,∠ＡＯC=∠BOＣ

∴　C为ＡB中点

∴C（）

数形结合就是学好向量得重要思想方法,分析图中得几何性质可以简化计算。

例4、在△OAB得边ＯA、OB上分别取点Ｍ、Ｎ，使||∶||=1∶3,||∶||＝1∶4,设线段ＡN与BＭ交于点P,记=,＝，用,表示向量。

∵B、P、M共线

∴记＝s

∴①

同理,记

∴=　　　　　　　②

∵,不共线

∴由①②得解之得：

∴　

从点共线转化为向量共线,进而引入参数（如s,t）就是常用技巧之一。

平面向量基本定理就是向量重要定理之一,利用该定理唯一性得性质得到关于ｓ，t得方程。

例5、已知长方形ABＣD,AB＝3,ＢC=2，Ｅ为BC中点，P为AB上一点

（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠ＰＥD=4５０;

（2）若∠PEＤ=4５０，求证:

P、Ｄ、Ｃ、Ｅ四点共圆。

利用坐标系可以确定点P位置

如图,建立平面直角坐标系

则C（2,0）,D（2，3）,E（1,０）

设P（0,y）

∴　＝（1,３），=（-1,y）

=3y-1

代入cos450=

解之得（舍），或y=2

∴点P为靠近点A得AＢ三等分处

（3）当∠PED＝４50时,由

（1）知P（０，2）

∴=（２,1）,=（-1，2）

∴·

=０

∴∠DPE=900

又∠DCＥ＝9０0

∴　D、P、E、Ｃ四点共圆

利用向量处理几何问题一步要骤为:

①建立平面直角坐标系;

②设点得坐标;

③求出有关向量得坐标;

④利用向量得运算计算结果;

⑤得到结论。

【考点剖析】

考点一:

向量得概念、向量得基本定理

【内容解读】了解向量得实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量得几何表示,掌握平面向量得基本定理。

注意对向量概念得理解,向量就是可以自由移动得，平移后所得向量与原向量相同；

两个向量无法比较大小,它们得模可比较大小。

如果与就是同一平面内得两个不共线向量,那么对该平面内得任一向量有且只有一对实数λ１、λ2，使＝λ１+λ２、

　注意：

若与就是同一平面内得两个不共线向量，

【命题规律】有关向量概念与向量得基本定理得命题,主要以选择题或填空题为主,考查得难度属中档类型。

例1、（2007上海）直角坐标系中，分别就是与轴正方向同向得单位向量.在直角三角形中,若,则得可能值个数就是（　　）

Ａ.1　B.2　　Ｃ.３　　Ｄ.4

解:

如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为（２,1），C点坐标为（3，k），所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角，C不可能为直角.所以k得可能值个数就是2,选Ｂ

点评:

本题主要考查向量得坐标表示，采用数形结合法,巧妙求解，体现平面向量中得数形结合思想。

例２、（200７陕西）如图，平面内有三个向量、、，其中与与得夹角为１20°

与得夹角为３0°

且|｜＝||=１，

||　＝，若＝λ+μ（λ,μ∈Ｒ）,

则λ+μ得值为　　、

过C作与得平行线与它们得延长线相交,可得平行四边形,由角BOC=90°

角AOＣ=3０°

＝得平行四边形得边长为2与4,２+４=6

本题考查平面向量得基本定理,向量OC用向量OＡ与向量OB作为基底表示出来后,求相应得系数，也考查了平行四边形法则。

考点二:

向量得运算

【内容解读】向量得运算要求掌握向量得加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量得加减运算;

掌握实数与向量得积运算,理解两个向量共线得含义，会判断两个向量得平行关系;

掌握向量得数量积得运算,体会平面向量得数量积与向量投影得关系，并理解其几何意义，掌握数量积得坐标表达式,会进行平面向量积得运算,能运用数量积表示两个向量得夹角,会用向量积判断两个平面向量得垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模与向量夹角得定义、夹角公式、向量得坐标运算,有时也会与其它内容相结合。

例3、（２00８湖北文、理）设ａ＝（1，-2），b=（-3,4）,c=（3,2）,则（ａ+2b）·

ｃ=（　）

A、（－15，１2）　　B.0　C、－３　D、-1１

（ａ+2b）,（a+2ｂ）·

c,选Ｃ

　　点评:

本题考查向量与实数得积,注意积得结果还就是一个向量,向量得加法运算,结果也就是一个向量，还考查了向量得数量积，结果就是一个数字。

例4、（200８广东文）已知平面向量，且∥,则=（）

　A.（-2,-4）　B、（-3,－6）　　C