沪教版八年级数学下第二十二章《四边形》全章复习与巩固提高知识讲解讲义Word文档格式.docx
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（1）.边的性质：
平行四边形两组对边平行且相等；
（2）.角的性质：
平行四边形邻角互补，对角相等；
（3）.对角线性质：
平行四边形的对角线互相平分；
（4）.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
判定：
（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等
（2）等底等高的平行四边形面积相等
要点三、特殊的平行四边形
矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形•
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.
矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
矩形的判定：
1.有三个角是直角的四边形是矩形
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.定义：
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
菱形的判定：
1.四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
正方形的性质:
1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
正方形的判定:
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.
要点四、梯形
有一个内角是直角的菱形是正方形.
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；
有一个角是直角的梯形叫直角梯
形；
有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形性质：
（1）两底平行，两腰相等；
（2）同一底边上的两个角相等；
（3）两条对角线相等；
（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）
面积：
（上底+下底）高
S梯形—2
等腰梯形判定：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
（1）"
作高”：
使两腰在两个直角三角形中.
（2）"
移对角线”：
使两条对角线在同一个三角形中.
（3）“延长两腰”：
构造具有公共角的两个三角形.
（4）“等积变形”：
连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点,构成三角形•并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等
综上，解决梯形问题的基本思路：
梯形问题三角形或平行四边形问题，这
分割、拼接
种思路常通过平移或旋转来实现.
三角形、梯形的中位线
联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半•
联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线•
梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
要点五、平面向量
444
平面向量的概念：
既有大小，又有方向的量叫做向量•向量一般用a,b,c来表示，或用
有向线段的起点与终点的大写字母表示，如:
AB
向量的大小也叫做向量的长度（或向量
aI.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量
平面向量的加法：
向量加法的三角形法则：
求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个
向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向
4片4
量.设AB=a,BC=b，则ab=ABBC=AC•
一I一
向量加法的平行四边形法则：
如果a,b是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，
任取一点为公共起点，作两个向量分别和a,b相等；
再以这两个向量为邻边作平行四边形；
!
然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a
与b的和向量•
44^^斗片彳片彳彳
向量的加法满足交换律abba，满足结合律（a■b）■c=a（bc）•
II
零向量：
长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量•
4—$—■*,_nT■*4呻
a=0二1a1=0^0^^=a^a^
平面向量的减法：
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法•
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
向量减法的三角形法则：
在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么
它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从
减向量指向被减向量•
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；
差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；
当两向量是首尾连接时，用三角形法则•向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB£
•式mPQ・OR总，但这时必须“首尾相连”
【典型例题】
类型一、多边形
1、若一个多边形的每个外角都等于60°
则它的内角和等于（）
A•180°
B•720°
C•1080°
D•540°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°
根据n边形的外角和为360°
计算出多
边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可.
【答案】B；
【解析】
解：
设多边形的边数为n,
•••多边形的每个外角都等于60°
n=360°
*60°
=6,
•••这个多边形的内角和=（6—2）X180°
=720°
.
【总结升华】本题考查了n边形的内角和定理：
n边形的内角和=（n—2）?
180°
；
也考
查了n边形的外角和为360°
类型二、平行四边形
02、如图，点□>
△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点
B重合）.以BDBF为邻边作平行四边形BDEF,又A锂BE（点P、E在直线AB的
同侧），如果BD=-AB那么△PBC的面积与厶ABC面积之比为（）
4
A.
【答案与解析】
过点P作PH//BC交AB于H,连接CHPF,•/AP-^BE,
•四边形APEB是平行四边形,
•••PE//ABPE=AB,
•••四边形BDEF是平行四边形，
•EF//BD,EF=BD,
即EF//AB
•P,E,F共线,
沁1
设BD=a,•/BD=AB,•PE=AB=4a,
贝yPF=PE—EF=3a,
•/PH//BC
…S^hbc-Sapbc,
•/PF//AB
•四边形BFPH是平行四边形，
bh=pf=3a,
TSahbc:
SaABC=BHAB=3a:
4a=3:
4,
…Sapbc:
SaABC=3:
4-
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较
大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.
举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,分别以ABACBC为一边在BC边同侧作正厶ABD正厶ACE和正厶BCF求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.
【答案】
证明：
•••AB=3,AC=4,BC=5,
•/BAC=90°
•/△ABD△ACE^DABCF为正三角形，
•AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC,
/1+ZFBA=Z2+ZFBA=60°
•/1=Z2
易证△BAC^ABDF（SAS,
•DF=AC=AE=4,ZBDF=90°
同理可证厶BAC^AFEC
•AB=AD=EF=3
•四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
•/DF//AE,DF丄BD
延长EA交BD于H点，AH丄BD贝UH为BD中点
3
•••平行四边形AEFD的面积=DFXDH=4X=6.
2
类型三、特殊的平行四边形
C3、如图，0是矩形ABCD勺对角线的交点，E、F、GH分别是OAOBOC0D上的点,且AE=BF=CG=DH
（1）求证：
四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、GH分别是OAOBOC0D的中点，且DGLAC0F=2cm，求矩形ABCD的面积.
（1）证明：
•••四边形ABCD是矩形，
•OA=0B=OC=OD
•/AE=BF=CG=DH
•AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH即:
OE=OF=OG=OH
•四边形EFGH是矩形；
（2）解：
TG是OC的中点，
•
GO=GC
•••DGLAC
•/DG&
/DGC=90°
又•DG=DG
•△DGC^DGO
•CD=OD
•F是BO中点，OF=2cm,
•BO=4cm,
•••四边形ABCD是矩形，
•DO=BO=4cm,
•DC=4cm,DB=8cm,
•CB=DB2-DC2=4.3,
•矩形ABCD的面积=4X4一3=16、3cm2.
【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线
相等.
【变式】如图，OABC内一点，把ABOBOCAC的中
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