版高考数学文精准备考一轮全国讲义第二单元 函文档格式.docx

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y＝f（x），x∈A

对应f：

2．函数的定义域、值域

（1）在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（2）函数的三要素是：

定义域、值域和对应关系．

3．表示函数的常用方法

列表法、图象法和解析法．

4．分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

1．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

答案：

B

2．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是（　　）

A．y＝　　　　　　　B．y＝（）

C．y＝lg10xD．y＝2log2x

解析：

选C　A．y＝＝x（x≠0）与y＝x的定义域不同，故不是相同的函数；

B．y＝（）＝|x|与y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数；

C．y＝lg10x＝x与y＝x的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数；

D．y＝2log2x与y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数．

3．已知函数f（x）＝则f＝（　　）

A．－2B．4

C．2D．－1

选A　因为函数f（x）＝

所以f＝2＋16＝4，

则f＝f（4）＝log4＝－2.

4．已知f＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（　　）

A.B．－

C.D．－

选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.

[清易错]

1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．

2．易混“函数”与“映射”的概念：

函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．

1．（2018·

合肥八中模拟）已知函数f（x）＝2x＋1（1≤x≤3），则（　　）

A．f（x－1）＝2x＋2（0≤x≤2）

B．f（x－1）＝2x－1（2≤x≤4）

C．f（x－1）＝2x－2（0≤x≤2）

D．f（x－1）＝－2x＋1（2≤x≤4）

选B　因为f（x）＝2x＋1，所以f（x－1）＝2x－1.因为函数f（x）的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f（x－1）＝2x－1（2≤x≤4）．

2．下列对应关系：

①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：

x→x的平方根；

②A＝R，B＝R，f：

x→x的倒数；

③A＝R，B＝R，f：

x→x2－2；

④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：

A中的数平方．

其中是A到B的映射的是（　　）

A．①③B．②④

C．③④D．②③

选C　由映射的概念知①中集合B中有两个元素对应，②中集合A中的0元素在集合B中没有对应，③④是映射．故选C.

函数定义域的求法

函数y＝f（x）的定义域

1.函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的定义域为________．

由⇒⇒0＜x≤2，

故所求函数的定义域为（0,2]．

（0,2]

2．函数y＝lg（1－2x）＋的定义域为________．

由题意可知求解可得－3≤x<

0，

所以函数y＝lg（1－2x）＋的定义域为[－3,0）．

[－3,0）

1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.

2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围.

辽宁锦州模拟）已知函数f（x2－3）＝lg，则f（x）的定义域为________．

设t＝x2－3（t≥－3），则x2＝t＋3，所以f（t）＝lg＝lg，由>

0，得t>

1或t<

－3，因为t≥－3，所以t>

1，即f（x）＝lg的定义域为（1，＋∞）．

（1，＋∞）

2．已知函数f（x）的定义域为[0,2]，则函数g（x）＝f（2x）＋的定义域为________．

因为函数f（x）的定义域为[0,2]，

所以对于函数f（2x），0≤2x≤2，即0≤x≤1，

又因为8－2x≥0，所以x≤3，

所以函数g（x）＝f（2x）＋的定义域为[0,1]．

[0,1]

函数的单调性与最值

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数

x2时，都有f（x1）>

f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

（3）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

珠海摸底）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）

A．y＝2－x　　　　　　　B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝－

选B　由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．

2．函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是（　　）

A．[1,2]B．[－1,0]

C．[0,2]D．[2，＋∞）

选A　由于f（x）＝|x－2|x＝

作出函数f（x）的图象如图，

则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

3．（2018·

长春质量检测）已知函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]B．（－∞，－1]

C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）

选A　因为函数f（x）在（－∞，－a）上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.

4．若函数f（x）＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

易知f（x）在[a，b]上为减函数，

∴即∴∴a＋b＝6.

6

5．函数f（x）＝的最大值为________．

当x≥1时，函数f（x）＝为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

当x<

1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

2

1．易混淆两个概念：

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f（x）在区间（－1,0）上是减函数，在（0,1）上是减函数，但在（－1,0）∪（0,1）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝.

1．函数f（x）＝在（　　）

A．（－∞，1）∪（1，＋∞）上是增函数

B．（－∞，1）∪（1，＋∞）上是减函数

C．（－∞，1）和（1，＋∞）上是增函数

D．（－∞，1）和（1，＋∞）上是减函数

选C　函数f（x）的定义域为{x|x≠1}．f（x）＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f（x）在（－∞，1）和（1，＋∞）上是增函数．

2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的增区间为________．

[－1,1]，[5,7]

函数的奇偶性

1．定义及图象特征

奇偶性

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数

关于原点对称

2．函数奇偶性的重要结论

（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．

（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；

偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

1．下列函数中的偶函数是（　　）

A．y＝2x－B．y＝xsinx

C．y＝excosxD．y＝x2＋sinx

选B　因为f（－x）＝（－x）sin（－x）＝xsinx＝f（x），即函数f（x）是偶函数，故选B.

2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－2）＝f（x＋2），且当x∈[－2,0]时，f（x）＝3x－1，则f（9）＝（　　）

A．－2B．2

C．－D.

选D　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x∈[0,2]时，f（x）＝－f（－x）＝－3－x＋1；

设x－2＝t，则x＝t＋2，则f（x－2）＝f（x＋2）可化为f（t）＝f（t＋4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（9）＝f

（1）＝.

绵阳诊断）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）<

f的x的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

选A　∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（|x|），

∴f（|2x－1|）<

f，再根据f（x）的单调性，得|2x－1|<

，解得<

x<

，故选A.

4．若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（　　）

A．函数f（x）－g（x）是奇函数

B．函数f（x）·

g（x）是奇函数

C．函数f[g（x）]是奇函数

D．函数g[f（x）]是奇函数

选B　因为函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，

所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），

所以f（－x）·

g（－x）＝－f（x）·

g（x），故f（x）·

g（x）是奇函数．

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

1．已知函数f（x）＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则（　　）

A．f（m）<