幂函数中档题含答案Word格式文档下载.docx
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C.
〔丄）D.
ba
二.填空题（共1小题）
5•已知幂函数f（x）的图象经过点（吉，普），P（xi,yi）,Q（X2,y2）（xivX2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①Xif（Xi）>
X2f（X2）；
②Xif（Xi）vX2f（X2）；
③亠>
」；
④:
:
'
v[j.其中正确结论的序号是—.
三.解答题（共i3小题）
6.已知幂函数f（x）=（m-i）2x—在（o,+x）上单调递增，函数g（x）=2X-k.
（I）求m的值；
（U）当x€[i,2]时，记f（x）,g（x）的值域分别为集合A,B，若AUB=A，求实数k的取值范围.
7•已知函数f（x）=（a—1）xa（a€R）,g（x）=1igx|•
（I）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；
（U）关于x的方程g（x—1）+f
（1）=0在区间（1,3）上有两不同实根xi,X2（xiVX2）,求a+-+1的取值范围.
X1k2
8已知函数f（x）=（a—1）xa（a€R）,g（x）=1igx|•
（I）若f（x）是幂函数，求a的值；
（U）关于x的方程g（x—1）+f
（1）=0在区间（1,3）上有两不同实根X1,X2（xyX2）,求-
K1的取值范围.
9..已知幂函数翻戸巧（J?
）的图象关于y轴对称，且在区间（0,+m）上是减函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若a>
k，比较（Ina）07与（Ina）。
6的大小.
10.已知幂函数g（x）=（m2—2）xm（m€R）在（0,+8）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（—m+1）+f（—m—1）—.
（1）求g（x）,f（x）的解析式；
（2）若实数a满足f（2a-1）vf（5-a）,求实数a的取值范围.
11.函数f（X）7是偶函数.
（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（-R,0）上是减函数；
（3）当x€[-2,0]时，求函数f（x）=的值域.
1
12.如图，点A、B、C都在幂函数尸F的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A'
、B'
、。
’，记厶AB'
C的面积为f（a），△A'
BC'
的面积为g
（a）
（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；
（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的
13.已知幂函数*的图象关于y轴对称，且在（0，+m）上是减函数.
（1）求m的值；
（2）求满足防1）弋《-2a）弋的a的取值范围.
14.已知幂函数y=f（x）经过点你寺）,
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x-4）>
0.
15.已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax,其中a为不等于1的正数
（1）若幂函数的图象过点（27,3）,求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；
（2）若Ovav1,且函数y=g（x+3）在区间［-2,-1］上总有|y|<
2,求a的取值范围.
16.已知幂函数-（m€Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0,+8）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）vf（1-2x）.
17.已知函数f（x）=（m-1）—为幂函数，
g（x）Wx+f（x）.
（1）求证：
函数g（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性定义证明：
函数g（x）在［2,+8）上是增函数.
18•已知幂函数f（x）=xv+2曲（m€Z）为偶函数，且在区间（0,+s）上是单调增函数.
（2）设函数g（x）=m+2x+c，若g（x）>
2对任意的x€R恒成立，求实数c的取值范围.
3.3幕函数中档题
参考答案与试题解析
1.（2015?
吉安一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3,萼），贝I」函数g（x）y+f（x）在[寺，3]上的值域为（）
A•[2,：
]B.[2,「]C.（0,I]
【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3,）,求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x€[-,3]上的最值即可.
【解答】解：
设f（x）=xa,
•••f（x）的图象过点（3,一），
・3a=
…一-r?
解得a=-丄，
一1
・f（x）十；
・函数g（x）=+f（x）=,+】，
当x€[亍,3]时，在x=1时，g（x）取得最小值
g
（1）=2,
在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=「；
+[=斗,
•••函数g（x）在x€［鸟,3］上的值域是［2,警］.故选：
【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目.
2.（2015秋？
庄河市期末）已知指数函数f（x）=ax「16+7（a>
0且1）的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g
（x）的图象是（）
A.B.
【分析】求出定点P,然后求解幂函数的解析式，即可得出结论.
指数函数f（x）=ax「16+7（a>
0且a半1）的图象恒过定点P，
令x-16=0，解得x=16，
且f（16）=1+7=8,
所以f（x）的图象恒过定点P（16,8）;
设幂函数g（x）=xa,P在幂函数g（x）的图象上,
可得：
16a=8,解得a=T;
所以g（x）=.-，幂函数g（x）的图象是A.
故选：
【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题.
3.（2015秋？
九江校级期中）函数f（x）=（m2-m-1）x1:
是幂函数，对任意X1,X2€（0,+8）,且X1HX2,满足巩"
）_玖七）〉0,若a,b€
77工1_工2
R,且a+b>
0,abv0,则f（a）+f（b）的值（）
A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断
【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）>
0.
根据题意，得
f（x）=（m2-m-1）x」‘||是幂函数，
/.m2-m—1=1,
解得m=2或m=—1;
又f（x）在第一象限是增函数，
且当m=2时，指数4X29—25—仁2015>
0,满足题意；
当m=—1时，指数4X（-1）9—（—1）5—仁—4V0,不满足题意；
•••幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；
又Ta,b€R，且a+b>
0,「・a>
-b,又abv0,不妨设bV0,
即a>
-b>
0,・・.f（a）>
f（—b）>
0,
f（—b）=—f（b）,
二f（a）>
—f（b）,•f（a）+f（b）>
0.故选：
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目.
4.（2014?
西湖区校级学业考试）已知弘〕二』，若0vavbv1,则下列各式中正确的是（）
A・
B・
ah
C・
D・
【分析】函数的单调性，对a、b、一*,区分大小，即可找出选项.
因为函数咖」在（0，+8）上是增函数，又心丄，
故选C.
【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较,是基础题.
5.（2016春？
厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（亍，：
），P（xi，yi），Q（X2，y2）
（XiVX2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①Xif（Xi）>
②Xif（Xi）vX2f（X2）；
③4>
土；
④土•其中正确结论的序号是②③.
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；
幂函数的指数大于0得到幂函数在（0,+*）上的单调性；
图象呈上升趋势，判断出②③正确.
依题意，设f（x）=xa，则有
（二）峠，即（鮎=（耐,所以a=丄，于是f（X）=X〒.
由于函数f（X）=X〒在定义域［0,+8）内单调递增，所以当XYX2时，必有f（X”Vf（X2）,从而有Xif（Xi）VX2f（X2），故②正确；
又因为_，分别表示直线OP、OQ的
斜率，结合函数
图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故，所以③正确.
答案②③
【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定.
三.解答题（共13小题）
6.（2016春？
宜春校级期末）已知幂函数f（X）=（m-1）2x川口：
在（0，+8）上单调递增，函数g（x）=2X—k.
（U）当x€[1,2]时，记f（x）,g（x）的值域分别为集合A,B，若AUB=A，求实数k的取值范围.
【分析】
（I）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，
（U）先求出f（x）,g（x）的值域，再根据若AUB?
A，得到关于k的不等式组，解的即可.
（I）依题意得：
（m-1）2=1，解得m=0或m=2
当m=2时，f（x）=x-2在（0，+8）上单调递减，与题设矛盾，舍去
二m=0.
（U）由（I）知f（x）=x2,当x€[1,2]时,f（x）,g（x）单调递增，
•••A=[1,4],B=
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