《等腰三角形》要点全析Word格式.docx

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（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，

∴　不能组成三角形．

②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．

③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．

④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．

（2）因等腰三角形的两边长分别为6cm、7cm

当腰长为6cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）

当腰长为7cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．

∴　等腰三角形的周长为19cm或20cm．

（3）因等腰三角形的两边长分别为2cm，7cm，所以腰长为7cm，而不能是2cm．若为2cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），

∴　等腰三角形的周长为16cm．

2．等腰三角形的性质1

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C

证法一：

（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．

∵　AB＝AC，∴　点A在BC的垂直平分线上．

又∵　AD为△ABC的对称轴，

∴　△ABD≌△ACD（轴对称性质）．

∴　∠B＝∠C

证法二：

（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，

在△ABD和△ACD中∴　△ABD≌△ACD（SAS）．

【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．

证法三：

如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，

在△ABD和△ACE中，

∴　△ABD≌△ACE（AAS）．

∴　BD＝CE

在Rt△BCD和Rt△CBE中，∴　Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．

∴　∠B＝∠C．

证法四：

如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE．

∵　AB＝AC，AD＝DC＝AC，AE＝BE＝AB，

∴　AD＝BE＝AE＝DC

∴　△ABD≌△ACE（SAS）．

∴　BD＝CE．

在△BCE和△CBD中

∴　△BCE≌△CBD（SSS）．

∴　∠ABC＝∠ACB．

【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．

3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．

如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．

即△ABC中，AB＝AC，

若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；

若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；

若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．

因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．

【说明】

（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．

（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．

如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；

反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．

（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．

△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：

∠BAC＝2∠DBC

证法一：

在△BCD中，∵　BD⊥AC，∴　∠BDC＝90°

．

∴　∠DBC＝90°

－∠C．

在△ABC中，∵　AB＝AC，∴　∠ABC＝∠ACB．

∴　∠BAC＝180°

－（∠ABC＋∠ACB）＝180°

－2∠ACB＝2（90°

－∠C）．

∴　∠BAC＝2∠DBC

借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，

∴　∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.

又∵　BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，

－∠C

又∵　AM⊥BC，∴　∠CAM＝90°

－∠C，∴　∠DBC＝∠CAM

4．等腰三角形的性质3（轴对称性）

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．

如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．

过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．

由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．

同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．

重要结论：

过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．

5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）

等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．

如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD＝CE．

证明：

∵　AB＝AC，∴　∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．

又∵　BD⊥AC，CE⊥AB，∴　∠BDC＝∠CEB＝90°

在△BCD和△CBE中，

∴　△BCD≌△CBE（AAS）．

或S△ABC＝AB·

CE＝AC·

BD．

∵　AB＝AC，∴　BD＝CE．此法较为简便．

同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等．

6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC

过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，

则∠BAD＝∠CAD．

在△ABD和△ACD中，

∴　△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC

因此，这一结论可直接利用．

（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．

（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．

如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：

OB＝OC．

∵　AB＝AC，

∴　∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．

∴　△BCE≌△CBD（SAS）．

∴　∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO

∴　OB＝OC（等角对等边）．

【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．

7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形

已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．

作法：

（1）作线段BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；

（3）在MN上截取AD＝b；

（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．

（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴　AB＝AC

∴　△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．

（2）以前所作的三角形分别为：

已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．

8．等边三角形（equilateraltriangle）

（1）定义：

三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．

（2）性质：

①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°

②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．

（3）判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形．

②有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

下面证明以上两条判定．

判定①：

如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：

△ABC是等边三角形．

∵　∠B＝∠C，∴　AB＝AC

又∵　∠A＝∠B∴　AC＝BC

∴　AB＝AC＝BC，∴　△ABC是等边三角形．

判定②：

如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°

．求证：

∵　AB＝AC，∴　∠B＝∠C．

又∵　∠B＝60°

，∴　∠B＝∠C＝60°

又∵　∠A＋∠B＋∠C＝180°

，

∴　∠A＝180°

－（∠B＋∠C）＝60°

∴　∠A＝∠B＝∠C，∴　AB＝BC＝AC．

∴　△ABC为等边三角形．

（4）应用：

如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．

分析：

要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°

，又∵　BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴　△ABD为等腰三角形，∴　∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°

．同理可知，∠CAE＝30°

解：

∵　△ABC为等边三角形，

∴　AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°

又∵　BD＝BC，∴　BD＝BC＝AB．

∴　∠DAB＝∠D，又∵　∠ABC＝∠D＋∠DAB，

∴　∠ABC＝2∠DAB＝60°

，∴　∠DAB＝30°

同理，∠CAE＝30°

∴　∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°

＋60°

＋30°

＝120°

【说明】本题中用到了等边三角形的性质．

再如：

如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．

求证：

△PQR是等边三角形．

本题既用到了等边三角形的性质，又用到