《等腰三角形》要点全析Word格式.docx
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(1)①由于2+3=5,即a+b=c,而不满足a+b>c,
∴ 不能组成三角形.
②由于2+3=5>4,即b+c>a,所以a、b、c可以组成三角形.
③由于1+2>2,即a+b>c,所以a、b、c可以组成三角形.
④由于a+b>c,因此a、b、c可以组成三角形.
(2)因等腰三角形的两边长分别为6cm、7cm
当腰长为6cm时,周长为6+6+7=19(cm)
当腰长为7cm时,周长为6+7+7=20(cm).
∴ 等腰三角形的周长为19cm或20cm.
(3)因等腰三角形的两边长分别为2cm,7cm,所以腰长为7cm,而不能是2cm.若为2cm,则2+2=4<7,不能组成三角形.因此周长为7+7+2=16(cm),
∴ 等腰三角形的周长为16cm.
2.等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
如图14-3-3,△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C
证法一:
(利用轴对称)过点A作△ABC的对称轴AD.
∵ AB=AC,∴ 点A在BC的垂直平分线上.
又∵ AD为△ABC的对称轴,
∴ △ABD≌△ACD(轴对称性质).
∴ ∠B=∠C
证法二:
(作顶角平分线)过点A作AD平分∠BAC交BC于D,如图14-3-3,
在△ABD和△ACD中∴ △ABD≌△ACD(SAS).
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明.
证法三:
如图14-3-4,过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE,
在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE(AAS).
∴ BD=CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中,∴ Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).
∴ ∠B=∠C.
证法四:
如图14-3-5,分别取AB、AC的中点E、D,连接BD、CE.
∵ AB=AC,AD=DC=AC,AE=BE=AB,
∴ AD=BE=AE=DC
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD=CE.
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD(SSS).
∴ ∠ABC=∠ACB.
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出,要证两角相等,都是想方设法把它们放在两个三角形中,证两个三角形全等.
3.等腰三角形的性质2(简称“三线合一”)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
如图14-3-6,在△ABC中,AB=AC,AD为顶角的平分线,那么AD既是中线,又是高线,这三条线重合.在使用时,在这三条线段中,只要作出其中一条,另外两条也就可以认为作出来了.
即△ABC中,AB=AC,
若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD;
若BD=CD,则AD⊥BC,∠BAD=∠CAD;
若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD.
因此,等腰三角形中的这条线非常重要,一旦作出,边、角的等量关系就都有了.
【说明】
(1)“三线合一”仅限于等腰三角形中才有,其他三角形中没有.
(2)在一般三角形中,这三条线是不会重合的.
如图14-3-7,在△ABC中,AD为高,AE为中线,AF平分∠BAC,因此,这三条线不重合.只有等腰时,三条线才会重合;
反过来,若某一三角形中三线重合,则该三角形为等腰三角形.
(3)在今后的证明题中,经常会使用“三线合一”进行证明.
△ABC中,AB=AC,BD⊥AC交AC于D,如图14-3-8.求证:
∠BAC=2∠DBC
证法一:
在△BCD中,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC=90°
.
∴ ∠DBC=90°
-∠C.
在△ABC中,∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.
∴ ∠BAC=180°
-(∠ABC+∠ACB)=180°
-2∠ACB=2(90°
-∠C).
∴ ∠BAC=2∠DBC
借助于三线合一的性质,过A作AM⊥BC于M,则AM平分∠BAC,
∴ ∠BAC=2∠BAM=2∠CAM.
又∵ BD⊥AC交AC于D,AM⊥BC交BC于M,
-∠C
又∵ AM⊥BC,∴ ∠CAM=90°
-∠C,∴ ∠DBC=∠CAM
4.等腰三角形的性质3(轴对称性)
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
如图14-3-9,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则△ABC的对称轴为AD所在的直线,△ABD≌△ACD.
过D作DE⊥AB,交AB于E,作DF⊥AC,交AC于F.
由△ABD≌△ACD可知DE=DF.
同理,过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线,它们都相等.因此,得到等腰三角形的一个重要结论.
重要结论:
过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线,其与两腰所截得的线段都分别对应相等.
5.等腰三角形的性质4(两腰上的对应线段相等)
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等.
如图14-3-10,△ABC中,AB=AC,若BD、CE分别为AC、AB边上的高线,则BD=CE.
证明:
∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BDC=∠CEB=90°
在△BCD和△CBE中,
∴ △BCD≌△CBE(AAS).
或S△ABC=AB·
CE=AC·
BD.
∵ AB=AC,∴ BD=CE.此法较为简便.
同样道理,可分别作出两腰上的中线,两底角的平分线,它们也分别对应相等.
6.等腰三角形的判定定理(等角对等边)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
如图14-3-11,△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC
过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC
因此,这一结论可直接利用.
(1)在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系.
(2)有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径.
如图14-3-12,△ABC中,AB=AC,BD、CE相交于O点.且BE=CD求证:
OB=OC.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∴ △BCE≌△CBD(SAS).
∴ ∠BCE=∠CBD,即∠OBC=∠BCO
∴ OB=OC(等角对等边).
【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明.
7.已知底边和底边上的高,求作等腰三角形
已知线段a、b,求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高为b.
作法:
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D;
(3)在MN上截取AD=b;
(4)连接AB、AC,△ABC就是所求的等腰三角形.
(1)由作法知MN为BC的垂直平分线,∴ AB=AC
∴ △ABC为等腰三角形,如图14-3-13.
(2)以前所作的三角形分别为:
已知三边,两边夹角,两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形,今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形,共有五种情况,今后还将学习一些更为复杂的作法,都是以这五种为基础进行作图的.
8.等边三角形(equilateraltriangle)
(1)定义:
三条边都相等的三角形,叫等边三角形.如图14-3-14,△ABC中,AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形.
(2)性质:
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
.如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A=∠B=∠C=60°
②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等.
(3)判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形.
②有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
下面证明以上两条判定.
判定①:
如图14-3-15,已知△ABC中,∠A=∠B=∠C求证:
△ABC是等边三角形.
∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC
又∵ ∠A=∠B∴ AC=BC
∴ AB=AC=BC,∴ △ABC是等边三角形.
判定②:
如图14-3-15,已知△ABC中,AB=AC,∠B=60°
.求证:
∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.
又∵ ∠B=60°
,∴ ∠B=∠C=60°
又∵ ∠A+∠B+∠C=180°
,
∴ ∠A=180°
-(∠B+∠C)=60°
∴ ∠A=∠B=∠C,∴ AB=BC=AC.
∴ △ABC为等边三角形.
(4)应用:
如图14-3-16,△ABC为等边三角形,D、E为直线BC上的两点,且BD=BC=CE,求∠DAE的度数.
分析:
要求∠DAE的度数,需分开求,先求∠BAC,再求∠DAB和∠CAE,由△ABC为等边三角形知∠BAC=60°
,又∵ BD=BC,而BC=BA,则BD=BA,∴ △ABD为等腰三角形,∴ ∠D=∠DAB=∠ABC=30°
.同理可知,∠CAE=30°
解:
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
又∵ BD=BC,∴ BD=BC=AB.
∴ ∠DAB=∠D,又∵ ∠ABC=∠D+∠DAB,
∴ ∠ABC=2∠DAB=60°
,∴ ∠DAB=30°
同理,∠CAE=30°
∴ ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=30°
+60°
+30°
=120°
【说明】本题中用到了等边三角形的性质.
再如:
如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD=CE=AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P.
求证:
△PQR是等边三角形.
本题既用到了等边三角形的性质,又用到