《等腰三角形》要点全析Word格式.docx

1、（1）由于235，即abc，而不满足abc，不能组成三角形 由于2354，即bca，所以a、b、c可以组成三角形 由于122，即abc，所以a、b、c可以组成三角形 由于abc，因此a、b、c可以组成三角形 （2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm 当腰长为6 cm时，周长为66719（cm） 当腰长为7 cm时，周长为67720（cm） 等腰三角形的周长为19 cm或20 cm （3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm若为2 cm，则2247，不能组成三角形因此周长为77216（cm）， 等腰三角形的周长为16 cm 2等腰三角形的性

2、质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 如图14-3-3，ABC中，ABAC，则BC 证法一：（利用轴对称）过点A作ABC的对称轴AD ABAC，点A在BC的垂直平分线上 又AD为ABC的对称轴， ABDACD（轴对称性质） BC 证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分BAC交BC于D，如图14-3-3， 在ABD和ACD中ABDACD（SAS） 【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明 证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE， 在ABD和ACE中， ABDACE（AAS） BDCE 在RtBCD和RtCBE中，RtBCDRtCBE（HL） BC

3、 证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE ABAC，ADDCAC，AEBEAB， ADBEAEDC ABDACE（SAS） BDCE 在BCE和CBD中 BCECBD（SSS） ABCACB 【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等 3等腰三角形的性质2（简称“三线合一”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合 如图14-3-6，在ABC中，ABAC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为

4、作出来了 即ABC中，ABAC， 若AD平分BAC，则ADBC，BDCD； 若BDCD，则ADBC，BADCAD； 若ADBC，则BDDC，BADCAD 因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了 【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有 （2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的 如图14-3-7，在ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分BAC，因此，这三条线不重合只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形 （3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明ABC中，ABAC，BDAC交AC于

5、D，如图14-3-8求证：BAC2DBC 证法一： 在BCD中，BDAC，BDC90 DBC90C 在ABC中，ABAC，ABCACBBAC180（ABCACB）1802ACB2（90C）BAC2DBC借助于三线合一的性质，过A作AMBC于M，则AM平分BAC， BAC2BAM2CAM. 又BDAC交AC于D，AMBC交BC于M，C 又AMBC，CAM90C，DBCCAM 4等腰三角形的性质3（轴对称性） 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴 如图14-3-9，ABC中，ABAC，AD平分BAC，则ABC的对称轴为AD所在的直线，ABDACD

6、过D作DEAB，交AB于E，作DFAC，交AC于F 由ABDACD可知DEDF 同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等因此，得到等腰三角形的一个重要结论 重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等 5等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等） 等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等如图14-3-10，ABC中，ABAC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BDCE 证明：ABAC，ABCACB（等边对等角） 又BDAC，CEAB，BDCCEB90 在BCD和CBE中， BCDCBE（AAS） 或S

7、ABCABCEACBD ABAC，BDCE此法较为简便 同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等 6等腰三角形的判定定理（等角对等边） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）如图14-3-11，ABC中，若BC，则ABAC过点A作AD平分BAC，交BC于点D， 则BADCAD 在ABD和ACD中， ABDACD（AAS）ABAC 因此，这一结论可直接利用（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系 （2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添

8、了一种重要的解题途径如图14-3-12，ABC中，ABAC，BD、CE相交于O点且BECD求证：OBOCABAC， ABCACB（等边对等角） BCECBD（SAS） BCECBD，即OBCBCO OBOC（等角对等边） 【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明 7已知底边和底边上的高，求作等腰三角形 已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BCa，高为b 作法：（1）作线段BCa； （2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D； （3）在MN上截取ADb； （4）连接AB、AC，ABC就是所求的等腰三角形（1）由作法知MN为BC的垂直平分线

9、，ABAC ABC为等腰三角形，如图14-3-13 （2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的 8等边三角形（equilateral triangle） （1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形如图14-3-14，ABC中，ABBCCA，则ABC为等边三角形 （2）性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60如图14-3-14中，若ABC为等边三角形，则ABC60 除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线

10、合一，轴对称等 （3）判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 下面证明以上两条判定 判定：如图14-3-15，已知ABC中，ABC求证：ABC是等边三角形BC，ABAC 又ABACBC ABACBC，ABC是等边三角形 判定：如图14-3-15，已知ABC中，ABAC，B60求证：ABAC，BC 又B60，BC60 又ABC180， A180（BC）60 ABC，ABBCAC ABC为等边三角形 （4）应用：如图14-3-16，ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BDBCCE，求DAE的度数 分析：要求DAE的度数，需分开求，先求BAC，再

11、求DAB和CAE，由ABC为等边三角形知BAC60，又BDBC，而BCBA，则BDBA，ABD为等腰三角形，DDABABC30同理可知，CAE30 解：ABC为等边三角形， ABBCAC，BACABCACB60 又BDBC，BDBCAB DABD，又ABCDDAB， ABC2DAB60，DAB30 同理，CAE30 DAEDABBACCAE306030120 【说明】本题中用到了等边三角形的性质 再如：如图14-3-17，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别为ABC三边上的点，且BDCEAF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P求证：PQR是等边三角形本题既用到了等边三角形的性质，又用到