菱形基础知识点及同步练习含答案Word文件下载.docx
《菱形基础知识点及同步练习含答案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《菱形基础知识点及同步练习含答案Word文件下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.除具有平行四边形的一切性质
外，菱形还具有以下性质：
1菱形的四条边都相等；
2两条对角线互相垂直平分；
（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）
3每一条对角线都平分一组内角.（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴.（不是对角线，而是
其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）
菱形的判别方法：
（学会利用轴对称的方法研究菱形）
1一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3四条边都相等的四边形是菱形.
【难题巧解点拨】
例1:
如图4-24，在△ABC中，/BAC=90°
AD丄BC于D,CE平分/ACB，交AD
于G,交AB于E,EF丄BC于F.求证：
四边形AEFG是菱形.
思路分析
AEFG
由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.
证明：
•••/BAC=90°
EF丄BC,CE平分/ACB,
•••AE=EF，/CEA=/CEF.
（这是略证，并不是完整的证明过程）
•/AD丄BC,EF丄BC,
•-EF//AD,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
•••/CEF=/AGE,（两直线平行，内错角相等）
•••/CEA=/AGE,
•AE=AG,
•EF//AG，且EF=AG,
•四边形AEFG是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又•••AE=EF,
•平行四边形AEFG是菱形.
例2:
已知菱形的周长为20cm,—条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数.
已知：
菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm.求/ADC、/ABC、/BCD、/DAB的度数.
利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25.
解：
在菱形ABCD中，
•/AB=BC=CD=DA，
又AB+BC+CD+DA=20cm
•AB=BC=CD=DA=5cm
又TAC=5cm，
•••AB=BC=AC,CD=DA=AC,
•••△ABC和厶DAC都是等边三角形，
（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）
•••/ADC=/ABC=60。
，/BCD=/DAB=120°
.
例3:
如图4-26，在平行四边形ABCD中，/BAE=/FAE,/FBA=/FBE.求证：
四边形ABEF是菱形.
图4-26
证法一：
•••AF//BE,
•••/FAE=/AEB（两直线平行，内错角相等）
又•••/BAE=/FAE,
•••/BAE=/AEB,
•AB=BE.（等角对等边）
同理，AB=AF,BE=EF,
•AB=BE=EF=AF,
•四边形ABEF是菱形.（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：
•••/FAE=/AEB,
•••/BAE=/AEB,•AB=BE.
又•••/FBA=/FBE,
•AO=OE,AE丄FB,（等腰三角形三线合一）
同理，BO=OF,
•四边形ABEF是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
（你还有其他的证明方法吗？
不妨试一下）
例4:
菱形的两邻角之比为1:
2，边长为2,则菱形的面积为
本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：
图4-27
解法一：
如图4-27,
/B：
ZA=1:
2,
•••四边形ABCD是菱形，
•••AD//BC,
•••/A+/B=180°
•••/B=60°
，/A=120°
过A作AE丄BC于E,
•••/BAE=30°
1
BE-AB1，（直角三角形中，30°
角所对的直角边等于斜边的一半）
2
BOAB2AO22212、3,
【典型热点考题】
/BAE=18°
，求/CEF的度数.
图4・13
点悟：
由/B=60°
知，连接AC得等边△ABC与△ACD从而△ABE^AADF,有AE=AF则厶AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求/CEF
连接AC.•/四边形ABCD为菱形，
/B=ZD=60°
AB=BC=CD=DA
•••△ABC与△CDA为等边三角形.
•••AB=AC,ZB=ZACD=/BAC=60,
/EAF=60°
•/BAE=ZCAF
•AE=AF.
又•••/EAF=60°
•△EAF为等边三角形.
/AEF=60°
/AEC玄B+ZBAE=ZAEF+ZCEF
•60°
+18°
=60°
+ZCEF,
ZCEF=18°
.
例2已知如图4-14，在△ABC中，ZBAC=90,AD丄BC于D,CE平分ZACB交AD于G,交AB于E,EF±
BC于F,求证：
四边形AEFG为菱形.
A
图4-14
可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等（或对角线垂直）.
TZBAC=90,EF丄BC,CE平分ZBCA
•AE=FE,ZAECZFEC
•/EF丄BC,ADLBC,•EF//AD
ZFEC=ZAGE•ZAECZAGE
•ae=ag,•
•••四边形AEFG为平行四边形.
又•••AE=AG.•四边形AEFG为菱形.
点拨：
此题还可以用判定菱形的另两种方法来证.
例3已知如图4-15,E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AEAE交BD于0,且/DAE=2/BAE求证：
EB=0A
•/四边形ABCD为菱形，
/ABC=2/ABDAD//BC,
/DAE玄AEB
•/AB=AE,•/ABC/AEB
/DAE=2/ABD
/DAE=2/BAE
/ABD玄BAE•-0A=0B.
/BOE/ABD/BAE
/B0E=2/BAE
/BEA=ZB0E•-0B=BE,
•A0=BE.
说明：
利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路.
例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5:
4,求菱形的各内角的度数.
先作出菱形ABCD和对角线ACBD（如图4-16）.
图4-16
•••四边形ABCD是菱形，
•AC丄BD,
•/1+/2=90°
，又T/1：
/2=4：
5,
/仁40°
/2=50°
/DCB/DAB=/2=100°
故/CBA玄CDA=/1=80°
二、填空题
3.已知：
菱形ABCD中,E、F是BCCD上的点，且AE=EF=AF=A,则/B=.
4•已知：
菱形的两条对角线长分别为a、b,则此菱形周长为,面积为
5•菱形具有而矩形不具有的性质是.
6•已知一个菱形的面积为83平方厘米，且两条对角线的比为1:
3，则菱形的边
长为.
三、解答题
7.
0为对角线BD的中点，MN过O且垂直BD,分别交CDAB于MN.求证：
四边形DNBK是菱形.
A.3:
2B.33C.1：
2D.3:
2.已知菱形的周长为40cm,两对角线的长度之比为3：
4,则两对角线的长分别为（）
A.6cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16cmD.24cm,32cm
3.菱形的对角线具有（）
A.互相平分且不垂直
B.互相平分且相等
C.互相平分且垂直
D•互相平分、垂直且相等
（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）
4•已知菱形的面积等于160cm2，高等于8cm，则菱形的周长等于.
5.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是.
6.菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：
2，则较短的对角线长是cm.
7.如图4-29，在△ABC中，/BAC=90°
BD平分/ABC,AG丄BC，且BD、AG
相交于点E,DF丄BC于F.求证：
四边形AEFD是菱形.
圈4-29
&
如图4-30,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O.求证：
四边形AFCE是菱形.
参考答案
【同步达纲练习一】
1.B;
2.D;
二、3.80°
；
4.2a2b2,2ab；
5.对角线互相垂直，各边长相等.
6.4厘米.
三、7.由已知MN为BD的垂直平分线，
有DM=BMDN=BN
又由△DOM^ABON得DM=BN
•••DM=BM=BN=DN二四边形DNBh是菱形.
过点D作DHLAB于H,则DH为菱形的一条高.
又•••AC、BD互相垂直平分于O,
11
OA-AB8厘米，OB-BD6厘米.
22
由勾股定理，得
AB■AO2BO210（厘米）.
又•••丄ABDHBDOA,
10DH-128,DH=9.6厘米.
【同步达纲练习二】
2.C;
3.C;
4.80cm;
5.5;
6.10;
7.证法一：
在Rt△ABD和Rt△FBD中，
•/BD为/ABC的平分线，•/ABD=/FBD，/DAB=/DFB=90°
又•••BD=BD,•Rt△ABD也RtAFBD
•AD=DF，/ADE=/EDF
又•••DF丄BC,AG丄BC,•DF//AE,
•••/EDF=/DEA，•/ADE=/DEA,•AD=AE,
•AE=DF，•四边形AEFD是平行四边形.
•/AD=DF，•四边形AEFD为菱形.
证法二：
同证法一得DF=DA=AE,
•/Rt△ABD也Rt△
升级会员 