菱形基础知识点及同步练习含答案Word文件下载.docx

1、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的一切性质. 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：1菱形的四条边都相等；2两条对角线互相垂直平分； （出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）3每一条对角线都平分一组内角. （出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴. （不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）1一组邻边相等的平行四边形是菱形；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3四条边都相等的四边形是菱形.【难题巧解点拨】例 1 :如

2、图 4-24，在 ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB，交 AD于G,交AB于E, EF丄BC于F.求证：四边形 AEFG是菱形.思路分析AEFG由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 是平行四边形，再证一组邻边相等.证明：/ BAC=90 , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB , AE=EF，/ CEA= / CEF .（这是略证，并不是完整的证明过程）/ AD 丄 BC, EF 丄 BC,- EF / AD ,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）/ CEF= / AGE ,（两直线平行，内错角相等）/ C

3、EA= / AGE ,AE=AG ,EF / AG，且 EF=AG ,四边形AEFG是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又 AE=EF ,平行四边形 AEFG是菱形.例2:已知菱形的周长为 20cm, 条对角线长为 5cm，求菱形各个角的度数.已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC、/ ABC、 / BCD、/ DAB 的度数.利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图 4-25 .解：在菱形ABCD中，/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm AB=BC=CD=DA=

4、5cm又 T AC=5cm， AB=BC=AC , CD=DA=AC , ABC和厶DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）/ ADC= / ABC=60。，/ BCD= / DAB=120 .例3:如图4-26，在平行四边形 ABCD中，/ BAE= / FAE ,/ FBA= / FBE.求证：四 边形ABEF是菱形.图 4-26证法一： AF / BE,/ FAE= / AEB （两直线平行，内错角相等）又/ BAE= / FAE,/ BAE= / AEB ,AB=BE .（等角对等边）同理，AB=AF , BE=EF,AB=BE=EF=AF ,四边形ABEF是菱形

5、.（四条边都相等的四边形是菱形） 证法二：/ FAE= / AEB ,/ BAE= / AEB , AB=BE .又/ FBA= / FBE ,AO=OE , AE丄FB ,（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF ,四边形ABEF是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4:菱形的两邻角之比为 1 : 2，边长为2,则菱形的面积为 本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：图 4-27解法一：如图4-27,/ B：Z A=1 : 2,四边形ABCD是菱形， AD / BC,/ A+ / B=180 ,/ B=60 ，/ A=120 过A作AE丄BC于E,

6、/ BAE=30 1BE -AB 1，（直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）2BO AB2 AO2 22 12 、3,【典型热点考题】/ BAE=18，求/ CEF的度数.图413点悟：由/ B=60知，连接 AC得等边 ABC与 ACD从而 ABEA ADF,有AE=AF 则厶AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求/ CEF连接AC. / 四边形ABCD为菱形，/ B=Z D= 60 , AB=BC=CD=DA ABC与 CDA为等边三角形. AB=AC ,Z B=Z ACD=/ BAC=60 ,/ EAF=60, / BAE=Z CAF AE=AF.又 / E

7、AF=60 EAF为等边三角形./ AEF=60,/ AEC玄 B+Z BAE=Z AEF+Z CEF60 +18 =60 +Z CEF,Z CEF=18.例2 已知如图 4-14，在 ABC中，Z BAC=90 , AD丄BC于D, CE平分Z ACB交 AD 于G,交AB于E, EF BC于F,求证：四边形 AEFG为菱形.A图 4-14可先证四边形 AEFG为平行四边形，再证邻边相等 （或对角线垂直）.T Z BAC=90 , EF丄 BC, CE平分Z BCAAE=FE, Z AECZ FEC/ EF 丄 BC, ADL BC, EF / ADZ FEC=Z AGE Z AECZ AG

8、Eae=ag , 四边形AEFG为平行四边形.又 AE=AG. 四边形AEFG为菱形.点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证.例3 已知如图4-15 , E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE AE交BD于0,且/ DAE=2 / BAE 求证：EB=0A/ 四边形ABCD为菱形，/ ABC=2/ ABD AD / BC,/ DAE玄 AEB/ AB=AE, / ABC/ AEB/ DAE=2/ ABD/ DAE=2/ BAE/ ABD玄 BAE - 0A=0B./ BOE/ ABD/ BAE/ B0E=2/ BAE/ BEA=Z B0E - 0B=BE , A0=BE.说明：利用菱形

9、性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路.例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为 5: 4,求菱形的各内角的度数.先作出菱形ABCD和对角线AC BD（如图4-16）.图 4-16 四边形ABCD是菱形，AC 丄 BD,/ 1 + / 2=90，又T / 1：/ 2=4： 5,/ 仁40,/ 2=50 / DCB/ DAB=/ 2=100故 / CBA玄 CDA=/ 1=80二、填空题3.已知：菱形 ABCD中, E、F 是 BC CD上的点，且 AE=EF=AF=A,则/ B= .4 已知：菱形的两条对角线长分别为 a、b,则此菱形周长为 ,面积为 5菱形具有而矩形不具有的

10、性质是 .6已知一个菱形的面积为 8 3平方厘米，且两条对角线的比为 1: 3，则菱形的边长为 .三、解答题7.0为对角线BD的中点，MN过O且垂直BD,分别交CD AB于M N.求 证：四边形 DNBK是菱形.A. 3:2 B. 33 C. 1： 2 D. 3:2. 已知菱形的周长为40cm ,两对角线的长度之比为 3： 4,则两对角线的长分别为（ ）A . 6cm, 8cm B. 3cm, 4cm C. 12cm, 16cm D. 24cm , 32cm3.菱形的对角线具有（）A .互相平分且不垂直B .互相平分且相等C.互相平分且垂直D 互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不

11、要增加性质）4已知菱形的面积等于160cm2，高等于8cm，则菱形的周长等于 .5. 已知菱形的两条对角线的长分别是 6和8，那么它的边长是 .6. 菱形的周长是40cm，两邻角的比是1： 2，则较短的对角线长是 cm .7.如图 4-29，在 ABC 中，/ BAC=90 , BD 平分/ ABC , AG 丄 BC，且 BD、AG相交于点E, DF丄BC于F.求证：四边形 AEFD是菱形.圈 4-29&如图4-30,平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线与 AD、BC、AC分别交 于点E、F、O.求证：四边形 AFCE是菱形.参考答案【同步达纲练习一】1. B; 2. D;二、 3.

12、 80； 4. 2 a2 b2 , 2ab ；5.对角线互相垂直，各边长相等.6.4厘米.三、 7.由已知 MN为BD的垂直平分线，有 DM=BM DN=BN又由 DOMA BON 得 DM=BN DM=BM=BN=DN 二四边形 DNBh是菱形.过点D作DHL AB于H,则DH为菱形的一条高.又 AC、BD互相垂直平分于 O,1 1OA -AB 8厘米，OB - BD 6 厘米.2 2由勾股定理，得AB AO2 BO2 10 （厘米）.又丄 AB DH BD OA ,10 DH - 12 8, DH=9.6 厘米.【同步达纲练习二】 2. C; 3. C; 4. 80cm; 5. 5; 6. 10;7.证法一：在 Rt ABD 和 Rt FBD 中，/ BD 为/ ABC 的平分线，/ ABD= / FBD，/ DAB= / DFB=90 又 BD=BD , Rt ABD 也 RtA FBDAD=DF，/ ADE= / EDF又 DF 丄 BC , AG 丄 BC , DF/AE ,/ EDF= / DEA，/ ADE= / DEA , AD=AE ,AE=DF，四边形AEFD是平行四边形./ AD=DF，四边形AEFD为菱形.证法二：同证法一得 DF=DA=AE ,/ Rt ABD 也 Rt